75
где f (t, v) — плотность распределения вероятностей t для заданного числа степеней свободы v. Отсюда следует, что tp и t-\ - а связаны между собой через соотношение p = 1 - 2а. Например, значение квантиля t0,g75 для 1 - а = = 0,975 и, соответственно, а = 0,025 совпадает со значением tp (v) для p = 0,95.
- 4 Число эффективных степеней свободы
- 4.1 В общем случае t-распределение нельзя применять к случайной величине (y - Y)/uc(y), если uf (у)
представляет собой сумму двух и более оценок uf (уi) = cf и2 (x) даже в том случае, когда каждое xi является
оценкой нормально распределенной входной величины X. Однако эту случайную величину можно приближенно описать t-распределением с некоторым числом эффективных степеней свободы veff, определяемым формулой Уэлча-Саттертуэйта [16], [17], [18]:
или
u4 (У)
£ u4 (У)
i=1 vi
при
N
где uf (y) = £ u1 (y) (см. 5.1.3). Таким образом, расширенная неопределенность Up = kpuc(y) = tp(veff) uc(y) обес- i=1
печивает интервал Y = y ± Up с приблизительным уровнем доверия p.
П р и м е ч а н и е 1 — Если значение veff, полученное по формуле (G.2b), не является целым числом, как обычно случается на практике, то соответствующее значение tp может быть получено из таблицы G.2 путем интерполяции или путем уменьшения veff до ближайшего целого числа.
П р и м е ч а н и е 2 — Если входная оценка xi сама получена из двух или более других оценок, то значение
vi, которое следует использовать с uf (y) = [2 u2 (x,)^ в знаменателе выражения в правой части формулы (G.2b),
есть число эффективных степеней свободы, рассчитанное тем же способом, что определен формулой (G.2b).
П р и м е ч а н и е 3 — В зависимости от нужд потенциальных пользователей результата измерения может оказаться полезным дополнительно к veff рассчитать и указать значения veff A и veff B, полученные согласно формуле (G.2b) раздельно для оценок стандартных неопределенностей по типу А и по типу В. Если вклады в
uf (у) стандартных неопределенностей по типу А и типу В, оцененных раздельно, обозначить, соответственно, uf a (y) и ufB (y), то имеют место следующие соотношения:
uf (y) = uf a (y) + ufB (y), u4 (У) = ucA(У) + uCb (У)
veff veff A veff B
Пример — Пусть Y = f (X1, X2, Xj) = b X1X2X3, оценки x1, x2,. x3 нормально распределенных входных величин X1, X2,. X3 суть арифметические средние по n1 = 10, n2 = 5 и n3 = 15 независимым повторным наблюдениям соответственно с относительными стандартными неопределенностями u(x1)/x1 = 0,25 %о, u(x2)/x2 = 0,57 %о, u(x3)/x3 = 0,82 %. Для данной функциональной зависимости должны быть определены коэффициенты чувствительности ci = дf / дХ,- = Y/Xi в точке x1, x2,. x3 (см. примечание 1 к 5.1.3), что
1 3 2 2
позволяет получить \uc(y)/y] =£\u(Xj)/x^| = 1,032 %% (см. примечание 2 к5.1.6). Тогда формула (G.2b)