29
- Частные производные df/dx, следует понимать как df/dX, при X-, = x (см. примечание 1 ниже). Эти производные, называемые также коэффициентами чувствительности, показывают, как изменяется выходная оценка у с изменением входных оценок x1, x2, ..., xN. Так, при небольшом изменении входной оценки x, на величину Ах,- оценка у изменится на (Ду) = (df/dx)(Ax). Если изменение входной оценки x, совпадает с ее стандартной неопределенностью, то соответствующее изменение в у будет равно (df/dx) u(x,). Поэтому суммарную дисперсию u2c (у) можно рассматривать как сумму дисперсий выходной оценки у, каждая из которых обусловлена дисперсией соответствующей входной оценки x,. Это позволяет записать формулу (10) в виде
N N
u 2( У) = 1 [С iU (x i )]2 = 1 uf( y), (11а)
i=i i=i
где
С = dfldx; ui (у) = |c|u(x). (11b)
П р и м е ч а н и е 1 — Строго говоря, частные производные df/dx, представляют собой значения df/dX, в точке математических ожиданий величин X. Однако на практике для их оценивания используют формулу
df =
dx: dX: '
' x1. x2’■■■’xN
П р и м е ч а н и е 2 — Суммарную стандартную неопределенность uc (у) можно рассчитать численно, заменяя в формуле (11а) Cju(x-) на
Zi = 2 {f [x1 x + u(x),...,xN] - f [x1,...,x - u(x),...,xN]}.
Т. е. численную оценку u, (у) получают, вычисляя изменения у при изменениях x, на +u(x,) и -u(x,) и принимая u ](у) равным |Z,|. При этом соответствующий коэффициент чувствительности с, может быть представлен как Zjlu(x).
Пример — Используя в примере к 4.1.1 в целях упрощения записи одно и то же обозначение как для величины, так и для ее оценки, можно получить следующие оценки коэффициентов чувствительности и суммарной дисперсии:
c1 = дРШ = 2V/{Ro [1 + a(t - t0)]} = 2P/V;
c2 = дР^о = -V2/{R2o [1 + a(t - to)]} = -P/Ro;
сз = дР/да = -V2(t - to)/{Ro [1 + a(t - to)]2} = -P(t - to)/[1 + a(t - to)];
c4 = дР/д9 = -V2a/{Ro [1 + a(t - t0)]2} = -Pa/[1 + a(t -10)];
u2 (p) = u1 (V + (wtj u2 R) + (&)’ u2 <•> + (ff u2 <9 =
= [Ciu (V)]2 + [C2U (Ro)]2 + [C3U (а)]2 + [C4U (t)]2 =
= U2i(P) + U22(P) + U23(P) + U24(P).
- Иногда коэффициенты чувствительности dfldx, определяют не расчетным способом из вида функциональной зависимости f, а экспериментально, измеряя изменение Y, вызванное изменением заданной входной величины X, когда значения остальных входных величин поддерживаются постоянными. В этом случае не требуется знания вида функциональной зависимости f (или части этой зависимости, если экспериментально определяют только некоторые коэффициенты чувствительности). Вместо этого достаточно получить разложение f в ряд Тейлора первого порядка через эмпирические коэффициенты чувствительности.
- Если функциональную зависимость для измеряемой величины Y разложить в ряд в окрест
ности номинальных значений Х,0 входных величин X, и ограничиться членами первого порядка (что в большинстве случаев будет достаточно хорошим приближением), то формула (1) преобразуется к виду Y = Yo + С1§1 + С2§2 + ,..., + Cn§n, где Yo = f (Х^, Х^о,---, Xn, 0), С = (df/dX) в точках Xi = X, 0 и 5, = X,- X, о.
Таким образом, в целях анализа неопределенности измеряемую величину можно аппроксимировать линейной функцией, перейдя от входных величин X к их приращениям 5,- (см. Е.3.1).