69
Из формул (F.5a) и (F.5b) видно, что наиболее вероятная поправка 8 в обоих случаях будет равна нулю, в то время как ее математическое ожидание и дисперсия составляют для одномерного движения E (8) = о2/2 и var (8) = о4/2 соответственно, а для двумерного движения — E (8) = о2 и var (8) = о4 соответственно. Тогда формулы ^.3а), (F.3b) и (F.4b) можно преобразовать к виду
где d представляет собой число степеней свободы движения оси средства измерения (d = 1 или d = 2), а u(ß) — стандартная неопределенность распределения угла ß, представляющая собой наилучшую оценку о, полученную на основе имеющейся информации в предположении о нормальности закона распределения (оценка по типу В). Это пример случая, когда оценка измеряемой величины зависит от неопределенности входной величины.
Полученные формулы ^.6а) — ^.6с) справедливы для частного случая, когда распределение ß нормально, однако аналогичные формулы могут быть получены для распределений вероятностей других видов. Например, если принять для ß симметричное прямоугольное распределение с верхними и нижними границами +ß0 и -ß0 соответственно в случае одномерного движения и +ß0 и 0 соответственно в случае двумерного движения, то
можно получить E(8) = ßg / 6 и var(8) = ßg / 45 для одномерного движения и E(8) = ß0 /4 и var (8) = ßg / 48 для двумерного движения.
П р и м е ч а н и е — Рассмотренный пример относится к ситуациям, когда ограничение в разложении функции Y = f (Xi, X2,..., XN) в ряд Тейлора членами первого порядка и применение формулы (10) неприменимо из-
за вида нелинейности f, cosß ф cos ß (см. примечание к 5.1.2 и H.2.4). Хотя весь анализ можно было полностью провести для переменной ß, введение переменной 8 упростило задачу.
Другим примером, когда все возможные значения величины лежат по одну сторону от единственного граничного значения, является определение концентрации компонента в растворе методом титрования. Конечную точку титрования определяют по появлению сигнала индикатора. Количество реактива, добавленного при определении конечной точки, никогда не может быть меньше того, что необходимо для появления сигнала, а может быть только больше его. Превышение количества реактива, необходимого для достижения конечной точки, необходимо учитывать при обработке данных. В этом и других подобных случаях избыточное количество реактива рассматривают как случайную величину, которой приписывают некоторое распределение вероятностей, после чего находят ее математическое ожидание и дисперсию.
Пример — Если принять, что избыток z реактива распределен равномерно в интервале от нуля до
верхней границы C0, то его математическое ожидание будет равно Cg/2, а дисперсия — C /12. Если же принять, что функция плотности вероятностей имеет вид усеченного гауссовского распределения на
интервале 0 <z < т. е. p (z) = (о ^p / 2) exp(- z2 / 2о2) , то математическое ожидание будет равно
оV2 / п , а дисперсия — о2 (1 - 2/л).
F.2.4.5 Неопределенность, связанная с поправкой по градуировочной характеристике
В примечании к 6.3.1 рассматривается случай, когда известную поправку b на значимый систематический эффект не вносят в заявляемый результат измерения, а вместо этого учитывают путем увеличения «неопределенности», приписываемой данному результату. Например, расширенную неопределенность U заменяют на U + b, где U — расширенная неопределенность, полученная в предположении, что b = 0. Такую практику иногда применяют в случаях, когда выполнены следующие условия: измеряемая величина Y определена на некотором диапазоне значений параметра t (как это имеет место для градуировочной характеристики датчика температуры); U и b изменяются с изменением t; для всех оценок y (t) измеряемой величины во всем диапазоне возможных значений t требуется указывать единственное значение «неопределенности». При этом результат измерения обычно приводят в виде Y(t) = y(t) ± [Umax + bmax], где подстрочный индекс «max» указывает на то, что использованы максимальные значения U и b в диапазоне значений t.
Хотя настоящее Руководство рекомендует для известных значимых систематических эффектов применять поправки к результатам измерений, в подобных ситуациях это не всегда выполнимо, т. к. связано с чрезмерными затратами на вычисление и применение своей собственной поправки, а также своей собственной неопределенности для каждого результата измерения y (t).
Сравнительно простое решение проблемы, при этом согласующееся с принципами настоящего Руководства, состоит в следующем.
Вычисляют единственную среднюю поправку b по формуле
b = -Lr Jb(t)dt, (F.7а)
f2 - t1 t,