74
y = ^CjXj, , где х, — оценка X,; и суммарной дисперсии u2 (у) оценки Y, полученной по формуле uC (у) = i = 1
= Хcf U2 (xi), где u (x,) — стандартная неопределенность (оценка стандартного отклонения) оценки x
П р и м е ч а н и е — Строго говоря, в выражении (y - Y)/uc(y) под Y следует понимать E(Y). Для упрощения такая строгая запись была использована только в некоторых местах настоящего Руководства. Таким образом, в настоящем Руководстве одно и то же обозначение может использоваться для обозначения физической величины, для обозначения случайной величины, представляющей данную физическую величину, и для обозначения математического ожидания этой случайной величины.
- 3.2 Если z — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием yz и стандартным отклонением о, z — среднее арифметическое n независимых наблюдений zk величины z, а s(z) — выборочное стандартное отклонение от z [см. формулы (3) и (5)], то случайная величина t = (z - дz)/s(z) описывается t-распределением, иначе называемым распределением Стьюдента, (С.3.8) с v = n - 1 степенями свободы.
Если рассмотреть простейший случай, когда измеряемая величина Y совпадает с нормально распределенной величиной X, Y = X, в качестве оценки X берется среднее арифметическое X по n независимым наблюдениям Xk величины X с выборочным стандартным отклонением s(X), наилучшей оценкой Y является y = X, а выборочное стандартное отклонение этой оценки есть uc (y) = s(X), то величина t = (z -дz)/s(z) = = (X - X) / s(X) = (y - Y) / uc (y) будет иметь t-распределение, и, соответственно,
Pr [- tp(v) < t < tp(v)] = p
или
Pr [- tp (v) < (y - Y) / uc (y) < tp (v)] = p,
что можно записать в виде
(G.^)
где Pr[.] обозначает вероятность выполнения условия в квадратных скобках, а tp(v) — значение величины t, зависящее от числа степеней свободы v (см. G.3.3), такое что доля p распределения Стьюдента попадает в интервал от - tp(v) до + tp(v). Таким образом, расширенная неопределенность
Up = kpuc(y) = tp(v) uc(y)
определяет интервал от y - Up до y + Up, что удобно записать как Y = y ± Up, предположительно охватывающий долю p распределения значений, которые можно обоснованно приписать Y, а p представляет собой вероятность охвата или уровень доверия для данного интервала.
- 3.3 Если по n независимым наблюдениям получена оценка одного единственного параметра — среднего арифметического, как это имело место в случае, рассмотренном в G.3.2, то число степеней свободы v будет равно n - 1. Если n независимых наблюдений используют для получения оценок свободного члена и коэффициента наклона в уравнении прямой линии методом наименьших квадратов, то число степеней свободы для определения выборочных стандартных отклонений этих оценок будет v = n - 2. При вычислении методом наименьших квадратов m параметров кривой по n экспериментальным точкам число степеней свободы для определения выборочного стандартного отклонения оценки каждого параметра составит v = n - m. (Более подробно вопрос определения числа степеней свободы рассмотрен в [15]).
- 3.4 Некоторые значения tp(v) для разных v и разных p приведены в таблице G.2 в конце настоящего приложения. По мере того, как v ^ ~ t-распределение приближается к нормальному и tp(v) « (1 + 2/v)1/2 kp, где kp — коэффициент охвата, позволяющий получить интервал с уровнем доверия p для переменной, распределенной по нормальному закону. Таким образом, значение tp (~) для данного p, приведенное в таблице G.2, совпадает со значением kp для того же p в таблице G.1.
П р и м е ч а н и е — Часто t-распределение задают в виде табличных значений квантилей t1- а, где 1 - а представляет собой значение функции t-распределения в точке t1- а, т. е. квантиль t1- а можно определить формулой
J f (t, v) dt,