58
жить упрощенный вывод математического выражения для получения неопределенности выходной оценки через неопределенности входных оценок, называемый в настоящем Руководстве законом трансформирования неопределенностей.
Е.3.1 Пусть выходная величина z = f (w1, w2,..., wN) зависит от N входных величин w1, w2,..., wN, и каждая из входных величин описывается соответствующим распределением вероятностей. Разложение функции f в точке математических ожиданий w,, E(w,) = ц, в ряд Тейлора первого порядка позволяет получить выражение для малого отклонения z относительно ц z через малые отклонения w, относительно ц, по формуле
где все члены высших порядков принимаются пренебрежимо малыми, и цТ = f (ц1, ц2,..., ц^. Квадрат отклонения z - цг может быть получен по формуле
которую можно записать также в виде
Математическим ожиданием квадрата отклонения (z - ц^2 будет дисперсия величины z, т. е. EWz - цz)2 I = ©z, и формулу (Е.2Ь) можно представить в виде
где о2 = E[wi -цi)2 —дисперсия w,; pj = v(w,, Wj)/(о2a2j)1/2 — коэффициент корреляции w, и w.;
v(Wi, Wj) = E[w; - цi)(wj - Цj)] —ковариация w, и w.
2 2
П р и м е ч а н и е 1 — оz и о,- являются центральными моментами второго порядка (см. С.2.13 и С.2.22) распределений вероятностей для, соответственно, z и w,. Распределение вероятностей может быть полностью описано через свое математическое ожидание, дисперсию и центральные моменты высших порядков.
П р и м е ч а н и е 2 — Формула (Е.3) идентична формуле (13) в 5.2.2 [совместно с формулой (15)] для расчета суммарной стандартной неопределенности, за исключением того, что в формуле (13) используются не дисперсии, стандартные отклонения и коэффициенты корреляции, а их оценки.
Е.3.2 Согласно традиционной метрологической терминологии формулу (Е.3) часто называют законом сум-
N
мирования погрешностей, что более уместно для формулы Az = Y (df / dWi) Aw,-, где Az — изменения величины
i=1
z, вызванные малыми изменениями Aw, величины w, [см. формулу Е(8)]. Поэтому формулу (Е.3) лучше назвать законом трансформирования неопределенностей (как это сделано в настоящем Руководстве), поскольку она показывает, как происходит преобразование неопределенностей входных величин w,, выраженных в виде стандартных неопределенностей распределений вероятностей случайной величины w,, в неопределенность выходной величины z, выраженную через стандартную неопределенность распределения вероятностей случайной величины z.
Е.3.3 Формула (Е.3) пригодна также для преобразования величин, пропорциональных стандартному отклонению, поскольку, если каждое стандартное отклонение о, заменить пропорциональной ему величиной ко,, где к—один и тот же множитель для всех о,, в левой части формулы (Е.3) вместо оz будет, соответственно, коz. Однако эту формулу нельзя трактовать как правило преобразования доверительных интервалов. В самом деле, если в правой части формулы (Е.3) каждую о, заменить величиной 8,-, определяющей интервал с соответствующим заданным уровнем доверия р, то получаемая в левой части величина 8z не будет определять интервал, соответствующий тому же значению р, за исключением частного случая, когда все w, распределены по нормальному закону. Между тем, при выводе формулы (Е.3) никаких условий на нормальность распределения входных величин w, не налагалось. Точнее, если в формуле (10) (см. 5.1.2) полученную на основе повторных наблюдений оценку