68
F.2.4.4 Асимметричные распределения входных величин
В ряде случаев для входной величины имеется только одно граничное значение, и все возможные реализации этой величины находятся от него по одну сторону. Например, при измерении некоторой постоянной высоты h (измеряемая величина) столба жидкости в манометре ось измерительного устройства может отклоняться от вертикали на небольшой угол ß. При этом показание l измерительного устройства будет всегда больше, чем h. Никакие значения, меньшие чем h, невозможны. Это обусловлено тем, что h равно проекции l на вертикальную ось, т. е. h = l / cos ß, а cos ß < 1. Этот эффект, имеющий название «косинусная погрешность», может проявляться и иным образом. Наблюдаемой величиной l может быть проекция измеряемой величины h', т. е. l = h'cos ß , тогда результат измерения всегда будет меньше измеряемой величины.
Если ввести новую переменную 8 = 1 - cos ß, то, полагая ß « 0 или 8 << 1, как это обычно и имеет место на практике, можно получить две разные измерительные ситуации:
где l — наилучшая оценка l, являющаяся средним арифметическим по n независимым повторным наблюдениям lk величины l с оценкой дисперсии u2 (l) [см. формулы (3) и (5)]. Таким образом, из формул ^.3а) и (F.3b) следует, что для получения оценки h или h' необходимо знать оценку поправочного коэффициента 8, а для получения суммарной стандартной неопределенности оценки h или h' необходимо знать u2(8) — оценку дисперсии 8. Конкретнее, совместное применение формулы (10) и формул ^.3а) и (F.3b) позволяет получить следующие
формулы для определения uC (h) и uC (h'):
u2 = (1 + 8)2 u2 (l) + l2 u2 (8) ^.4а)
или
u2 = u2 (l) + l2 u2 (8). (F.4b)
[В формуле ^.4а) знак + означает минус для u2 (h) и плюс для u2 (h').]
Чтобы получить оценки математического ожидания и дисперсии величины 8 предположим, что на положение оси устройства, используемого для измерения высоты столба жидкости в манометре, наложена механическая связь, позволяющая этой оси отклоняться от вертикали на угол ß только в некоторой фиксированной вертикальной плоскости, и что распределение значений угла наклона ß относительно нулевого математического ожидания является нормальным с дисперсией о2. Хотя ß может принимать как положительные, так и отрицательные значения, величина 8 = 1 - cos ß будет положительной для всех значений ß. Если снять условие механической связи на положение оси прибора, то ее угол с вертикальной осью будет изменяться в пределах некоторого телесного угла, определяемого помимо отклонения оси прибора от вертикали на угол ß также изменениями ее азимутального угла, но в такой двумерной системе координат значения ß принимаются положительными.
При наличии механической связи (изменении направления оси по одной координате) элемент вероятно
ожидания и дисперсии 8 и использовать их в формулах (F.3) и (F.4), необходимо знание функции плотности вероятностей p(8) для двух указанных случаев. Ее легко получить, воспользовавшись тем, что угол ß мал и в разложениях 8 = 1 - cos ß и sin ß в ряд по ß можно ограничиться только членами низшего порядка малости. Это дает
8 = ß2/2 и sin ß = ß = ViO". Таким образом, функции плотности вероятности будут иметь вид
Р (8) = ^fe еХР (-8' °2) (F.5а)
для случая с наложенной механической связью (одномерного движения) и
p(8) = -L exp (-8 / о2) (F.5b)
для случая без механической связи (двумерного движения).
При этом выполняется условие