72
Приложение G
(рекомендуемое)
Число степеней свободы и уровни доверия
- 1 Введение
- 1.1 В настоящем приложении рассматривается общий вопрос получения из оценки у измеряемой величины Y и суммарной стандартной неопределенности uc(y) этой оценки расширенной неопределенности Up = kpUc(y), которая определяет интервал у - Up < Y < у + Up , соответствующий некоторой высокой заданной вероятности охвата или уровню доверия p. Таким образом, задача состоит в получении значения коэффициента охвата kp, определяющего интервал вокруг результата измерения, который предположительно охватывает большую заданную долю p распределения значений, обоснованно приписываемых измеряемой величине Y (см. раздел 6).
- 1.2 В большинстве практических измерительных ситуаций расчет интервалов с заданными уровнями доверия (фактически, оценивание наиболее характерных составляющих неопределенности для конкретных измерительных ситуаций) может быть выполнен только в некотором приближении. Так даже выборочное стандартное отклонение среднего арифметического по 30 повторным наблюдениям нормально распределенной величины имеет собственную неопределенность около 13 % (см. таблицу Е.1 приложения Е).
В большинстве случаев не имеет смысла различать интервал с уровнем доверия 95 % (один шанс из 20, что значение измеряемой величины Y находится вне этого интервала) и интервал с уровнем доверия 94 % или 96 % (один шанс из 17 или 25, соответственно). Особенно трудно получить обоснованные оценки интервалов с уровнями доверия 99 % (один шанс из 100) и выше (даже если допустить, что все систематические эффекты были приняты во внимание), поскольку это требует детальной информации о «хвостах» распределения входных величин, которая обычно недоступна.
- 1.3 Чтобы получить значение коэффициента охвата kp, образующего интервал с заданным уровнем доверия p, необходимо иметь подробные сведения о законе распределения, характеризуемом результатом измерения и его суммарной стандартной неопределенностью. Например, для величины z, описываемой нормальным распределением с математическим ожиданием pz и стандартным отклонением о, легко можно рассчитать значение коэффициента охвата kp , который образует интервал pz ± kpO, включающий долю p этого распределения и, следовательно, имеющий вероятность охвата и уровень доверия p. Некоторые примеры приведены в таблице G.1.
Т а б л и ц а G.1 — Значения коэффициента охвата kp, образующего интервал с уровнем доверия p для нормально распределенной случайной величины
П р и м е ч а н и е — Для сравнения, если z описывается прямоугольным распределением вероятностей с математическим ожиданием pz и стандартным отклонением о = а /д/э, где а — полуширина распределения, то
уровень доверия p будет равен 57,74 % для kp = 1; 95 % для kp = 1,65; 99 % для kp = 1,71 и 100 % для kp > >/з « 1,73.
Прямоугольное распределение «уже» нормального в том смысле, что оно обладает конечной протяженностью и не имеет «хвостов».
- 1.4 Если известны распределения вероятностей входных величин Х1, Х2,..., XN [их математические ожидания, дисперсии, а также если эти величины не являются нормальными, моменты высших порядков (см. С.2.13 и С.2.22)], от которых зависит измеряемая величина Y, и если Y является линейной функцией входных величин, Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN, то распределение вероятностей Y может быть получено сверткой распределений вероятностей входных величин (см. [10]). Таким образом, значения kp, образующие интервалы с заданным уровнем доверия p, могут быть рассчитаны по этой свертке.
1.5 Если функциональная зависимость между Y и входными величинами нелинейна, и ограничение членами первого порядка разложения в ряд Тейлора этой зависимости не может рассматриваться в качестве допустимого приближения (см. 5.1.2 и 5.1.5), то распределение вероятностей Y не является сверткой распределений входных величин. В таких случаях необходимо использовать другие аналитические или численные методы расчета.