51
П р и м е ч а н и е — Оценку ковариации двух средних арифметических у и z получают по формуле
S ( y, Z ) = S ( y i, Zi)/n.
С.3.5 Ковариационная матрица
В случае многомерного распределения вероятностей матрица V, элементами которой являются дисперсии и ковариации случайных величин, называется ковариационной матрицей. Диагональные элементы v (z, z) = о2 (z) или s (z,, z) = s2 (z,) являются дисперсиями, а недиагональные v (y, z) или s (y, z) - ковариациями.
С.3.6 Коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции является мерой относительной взаимной зависимости двух случайных величин, равной отношению их ковариаций к положительному квадратному корню из произведения их дисперсий. Таким образом
а его оценка может быть получена по формуле
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, удовлетворяющей неравенствам - 1 < р < + 1 (или - 1 < r (y, z) < + 1).
П р и м е ч а н и е 1 — Поскольку р и r являются безразмерными числами в диапазоне от минус 1 до плюс 1 включительно, а ковариации, как правило, представляют собой размерные величины с трудными для интерпретации числовыми значениями, то коэффициенты корреляции обычно более употребительны, чем ковариации.
П р и м е ч а н и е 2 — Для многомерного распределения вероятностей вместо ковариационной матрицы обычно применяют матрицу коэффициентов корреляции. Т. к. р (y, y) = 1 и r (y, y) = 1, то диагональные элементы этой матрицы равны единице.
П р и м е ч а н и е 3 — Если входные оценки x, и Xj коррелированны (см. 5.2.2) и если изменение X, на величину 8, вызывает изменение Xj на величину 8j, то приближенную оценку коэффициента корреляции между X, и Xj можно получить по формуле
r(Xi,Xj) = u (Xi) 8j / [u (Xj) 8i].
Это соотношение может служить основой для экспериментального оценивания коэффициента корреляции. Оно может быть также использовано для приблизительного расчета изменения одной из входных оценок, обусловленного изменением другой, если их коэффициент корреляции известен.
С.3.7 Независимость
Две случайные величины являются статистически независимыми, если их совместное распределение вероятностей является произведением одномерных распределений вероятностей этих величин.
П р и м е ч а н и е — Если две случайные величины независимы, то их ковариация и коэффициент корреляции равны нулю, но обратное утверждение в общем случае не является справедливым.
С.3.8 ^-распределение (распределение Стьюдента)
f-распределение, иначе называемое распределением Стьюдента, представляет собой распределение вероятностей непрерывной случайной величины t, для которой функция плотности распределения вероятностей имеет вид
где Г(.) — гамма-функция, v > 0.
Математическое ожидание t-распределения равно нулю, а его дисперсия равна v/(v - 2) для v > 2.
При v ^ ~ t-распределение стремится к нормальному распределению с д = 0 и о = 1 (см. С.2.14).
Если случайная величина z распределена по нормальному закону с математическим ожиданием pz, z и s (z,) — среднее арифметическое и выборочное стандартное отклонение соответственно, по выборке из n независимых наблюдений z, величины z, а s(z) = s(zi)/-Jn — выборочное стандартное отклонение среднего арифметического z с v = n - 1 степенями свободы, то случайная величина (z - дz)/ s(z) будет иметь t-распределение.
42