73
- 1.6 На практике процедура свертки при расчете интервалов с заданными уровнями доверия не используется или используется крайне редко по следующим причинам: параметры распределения входной величины обычно не известны точно, а являются лишь оценками; трудно ожидать, что уровень доверия для данного интервала может быть известен с высокой точностью; реализация этой процедуры сложна с математической точки зрения. Вместо этого применяют приближения, основанные на центральной предельной теореме.
- 2 Центральная предельная теорема
- 2.1 Если измеряемая величина представляет собой линейную функцию входных величин Y = с1Х1 +
N
+ c2X2 + ... + cNXN = Xci X и все входные величины X; распределены по нормальному закону, то распределение i=1
Y, являющееся сверткой распределений входных величин, также будет нормальным. Однако даже если распределения X, не являются гауссовыми, распределение Y все равно часто может быть аппроксимировано нормальным распределением, что следует из центральной предельной теоремы. Эта теорема гласит, что распределение
N
Y будет приблизительно нормальным с математическим ожиданием E(Y) = XСE(Xj) и дисперсией
i=1
общую сумму от любой случайной величины X, распределение которой отлично от нормального.
- 2.2 Особое значение центральной предельной теоремы обусловлено тем, что она демонстрирует очень важную роль, которую играют дисперсии распределений вероятностей входных величин по сравнению с моментами более высокого порядка при формировании свертки распределений, т. е. результирующего распределения вероятностей выходной величины Y. Более того, из центральной предельной теоремы следует, что свертка распределений стремится к нормальному распределению при увеличении числа элементов свертки, т. е. числа входных величин, вносящих свой вклад в o2(Y); что эта сходимость будет тем быстрее, чем ближе значения с2о2(Х/) друг к другу (на практике это означает, что все оценки х, входных величин вносят сравнимую неопределенность в неопределенность оценки у измеряемой величины Y); и что чем ближе распределения X/ к нормальному, тем меньшее число входных величин требуется, чтобы получить нормальное распределение для Y.
Пример — Прямоугольное распределение (см. 4.3.7 и 4.4.5) является примером распределения, весьма далекого от нормального, но свертка всего трех таких распределений, имеющих одинаковую ширину, позволяет получить почти нормальное распределение. Если обозначить полуширину такого прямоугольного распределения через а, так что его дисперсия будет равна a2/3, то дисперсия свертки трех прямоугольных распределений будет иметь дисперсию о2 = а2, а границы интервалов с доверительной вероятностью 95 % и 99 % равны 1,937о и 2,379а, соответственно, в то время как для нормального распределения с тем же стандартным отклонением о эти границы определяются как 1,960а и 2,576а (см. таблицу G.1) [10].
П р и м е ч а н и е 1 — Для интервала с уровнем доверия р, превышающим приблизительно 91,7 %, соответствующее значение kp для нормального распределения будет больше, чем для свертки любого количества прямоугольных распределений произвольной ширины.
П р и м е ч а н и е 2 — Из центральной предельной теоремы следует, что распределение вероятностей
среднего арифметического q по n наблюдениям qk случайной величины q с математическим ожиданием pq и конечным стандартным отклонением о при n ^ ~ приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием pq и стандартным отклонением о / 4п независимо от вида распределения вероятностей q.
- 2.3 Практическим следствием центральной предельной теоремы является то, что, убедившись в соблюдении ее требований, в частности, подтвердив на основе всего лишь нескольких наблюдений (для получения оценок стандартных неопределенностей по типу А) или на основе предположения о равномерном распределении (для получения оценок стандартных неопределенностей по типу В), что ни одна из составляющих неопределенности не является доминирующей, можно в качестве разумного первого приближения для расчета расширенной неопределенности Up = kpUcy, определяющей интервал с уровнем доверия р, использовать значения kp для нормального распределения. Наиболее часто применяемые значения kp для нормального распределения приведены в таблице G.1.
- 3 ^-распределение и число степеней свободы
3.1 Чтобы получить приближение лучшее, чем обеспечивает использование значения kp для нормального распределения (см. G.2.3), следует понять, что расчет интервала с заданным уровнем доверия требует знания распределения не величины [Y - E(Y)]/ о(У) , а величины (у - Y)/uc(y). Это связано с тем, что на практике известными являются не параметры распределения, а значения статистик: у — оценки Y, полученной по формуле