23
которая совпадает с дисперсией прямоугольного распределения в интервале шириной (b+ + b_) (асимметричные распределения рассматриваются также в F.2.4.4 и G.5.3).
Пример — Пусть в примере 1 ( 4.3.7) в справочнике значение коэффициента дано как a20 (Cu) = = 16,52-10г6 °С~1 и указано, что «наименьшее возможное значение коэффициента равно 16,40-10г6 °С~1, а наибольшее — 16,92-10~6 °С~1». Тогда b_ = 0,12-10~6 °С~1, b+ = 0,40-10~6 °С~1, и по формуле (8) получаем u (а20) = 0,15-10~6 С.
П р и м е ч а н и е 1 — Во многих практических измерительных ситуациях, когда границы асимметричны, целесообразно вносить поправку в оценку x, на величину (b+ - b_) / 2, чтобы новая оценка x, величины X, находилась посередине диапазона, xj = (а+ + a_) / 2. Это сведет ситуацию к случаю, рассмотренному в 4.3.7, при новых значениях b+ = b'_ = (b+ + b_) / 2 = (a+ - a_) / 2 = a.
П р и м е ч а н и е 2 — Основываясь на принципе максимума энтропии, можно показать, что в случае асимметричных границ плотность вероятности распределения с максимальной энтропией имеет вид p(X) = = A exp {- X(X , - х,)}, где A и X являются решением системы уравнений: A = [b_ exp (Xb_) + b+ exp (-Xb+)]-1, X = = {exp [X(b+ + b-)]-1}/{b_ exp [X(b+ + b-)] + b+}; X > 0 в случае b+ > b- и X < 0 в случае b+ < b-. Дисперсия такого распределения имеет вид u2(xj) = b+b- - (b+ - b_) / X.
- В случае, рассмотренном в 4.3.7, отсутствие информации о возможных значениях величины X, в пределах границ ее изменения от а- до а+ не позволило сделать иного предположения о плотности распределения вероятностей X, кроме как принять ее постоянной в пределах интервала от а- до а+ и нулевой вне этого интервала. Распределение вероятностей такого вида содержит разрывы (на границах интервала), что зачастую не имеет под собой ясной физической основы. Во многих случаях можно ожидать, что значения Xj вблизи границ интервала гораздо менее вероятны, чем в его центре. Тогда симметричное прямоугольное распределение целесообразно заменить симметричным трапецеидальным распределением с шириной нижнего основания a+ - a- = 2а и шириной верхнего основания 2aß, где 0 < ß < 1. При ß ^ 1 это распределение стремится к прямоугольному, рассмотренному в 4.3.7, а при ß ^ 0 — к треугольному (см. 4.4.6 и рисунок 2b). Математическое ожидание величины X, для такого трапецеидального распределения будет равно x = (а- + а+) / 2, дисперсия u2 (x) определяется по формуле
u2 (x) = а2 (1 + ß2)/6, (9а)
а в случае треугольного распределения (ß = 0):
u2 (x) = а2/6. (9b)
П р и м е ч а н и е 1 — Для нормального распределения с математическим ожиданием ц и стандартным отклонением о в интервал ц ± 3о попадают приблизительно 99,73 % значений случайной величины. Таким образом, если принять что интервал от а- до а+ охватывает не 100 %, а 99,73 % значений и что случайная величина распределена по закону, близкому к нормальному (это будет дополнительной информацией о распределении случайной величины по сравнению с той, что рассмотрена в 4.3.7), то u2 (x) = а2/9. Для сравнения: дисперсия симметричного прямоугольного распределения на интервале полушириной а равна а2/3 [формула (7)], а дисперсия симметричного треугольного распределения на интервале полушириной а равна а2/6 [формула (9b)]. Различия в значениях дисперсий этих трех распределений довольно незначительны по сравнению с разницей в объемах информации, требуемой для обоснования выбора того или иного распределения.
П р и м е ч а н и е 2 — Трапецеидальное распределение можно рассматривать как свертку двух прямоугольных распределений (см. [10]): одного с полушириной а1, равной длине средней линии трапеции, а1 = а (1 + ß)/2, другого — с полушириной а2, равной длине средней линии треугольника, образованного боковой линией, опущенной из нее высотой и частью нижнего основания трапеции, а2 = а (1 - ß)/2. Тогда дисперсию трапецеидального распределения u2 можно представить в виде суммы дисперсий этих двух прямоугольных распределений: u2 = а2/3+а|/3. Свертку распределений можно интерпретировать также как случайную величину, распределенную по равномерному закону на интервале 2а1, значение которого известно с некоторой неопределенностью, определяемой другим равномерным распределением на интервале 2а2, т. е. как равномерно распределенную случайную величину, границы распределения которой точно не известны. Но даже если а2 составляет 30 % а1, стандартное отклонение трапецеидального распределения u будет превышать а1 />/з менее чем на 5 %.
- Важно, чтобы одни и те же составляющие неопределенности не были учтены более одного раза. Если составляющая неопределенности, обусловленная конкретным эффектом, получена оцениванием типа В, то она должна войти как независимая составляющая при расчете суммарной стандартной неопределенности только в той части, в какой этот эффект не вызывает вариативности результатов измерения. Это обусловлено тем, что та часть эффекта, которая вносит вклад в вариативность, уже включена в составляющую неопределенности, полученную на основе статистического анализа наблюдений.
Обсуждение оценивания стандартной неопределенности типа В в 4.3.3—4.3.9 проведено на