31
где r (Xj, xj) = r(Xj, Xi) и - 1 < r (xh xj) < + 1. Если оценки x, и Xj независимы, то r (xh xj) = 0, и по изменению
значения одной из этих случайных величин нельзя прогнозировать изменение значения другой (более подробно данный вопрос рассматривается в С.2.8, С.3.6 и С.3.7).
При использовании коэффициентов корреляции, которые легче интерпретировать, чем ковариации, ковариационное слагаемое в формуле (13) можно представить в виде
Тогда с учетом формулы (11b) формула (13) принимает вид
2 N N -1 N
ul (У) = Е cfu2 (xj) + 2 Е Е Cj Cj u (Xj) u(Xj ) r (Xj, Xj ). (16)
j=1 j=1 j=j+1
П р и м е ч а н и е 1 — В частном случае, когда все входные величины коррелированны с коэффициентами корреляции r (x, xj) = + 1, формула (16) упрощается до вида
При этом суммарная стандартная неопределенность uc (у) будет представлять собой просто сумму составляющих неопределенности выходной величины, каждое из которых обусловлено неопределенностью соответствующей входной оценки xj. [Эту сумму не следует путать с похожим по виду общим законом суммирования погрешностей — стандартные неопределенности не являются погрешностями (см. Е.3.2)].
Пример — Десять резисторов номинальным сопротивлением Ri = 1000 Ом каждый калибруют методом сличения (неопределенностью сличения в данном примере пренебрегают) с эталоном того же номинального сопротивления Rs = 1000 Ом. Стандартная неопределенность эталона u (Rs) = 100 мОм указана в его свидетельстве о сертификации. Резисторы соединяют последовательно проводами с пренебрежимо малым сопротивлением для получения эталона сопротивления Rref номиналом 10 кОм.
10
Таким образом, Rref= f (R) = Е Ri. Поскольку для каждой пары резисторов r (x, x) = r (Ri, R) = +1 (см. F.1.2.3,
i=1
пример 2), то справедлива формула из примечания 1. Для каждого резистора дШх-, = дRref/дRi = 1 и u(x) = u(Ri) = u(Rs) (см. F.1.2.3, пример 2) применение указанной формулы дает значение суммарной стандартной
лученный с помощью формулы (10), будет неверен, поскольку он не учитывает корреляцию между сопротивлениями десяти резисторов, обусловленную процедурой калибровки эталона.
П р и м е ч а н и е 2 — Оценки дисперсий u2 (xj) и оценки ковариаций u(x(-, xj) можно рассматривать как элементы ujj ковариационной матрицы. Диагональными элементами такой матрицы будут дисперсии Uj = u2 (xj), а недиагональными — ковариации Uj = u(x, xj) = u(xj, xj), j ф j. Если две входные величины некоррелированны, то соответствующие элементы ковариационной матрицы uj и up равны нулю. Если все входные величины некоррелированны, то все недиагональные элементы равны нулю, и ковариационная матрица будет диагональной (см. также С.3.5).
П р и м е ч а н и е 3 — Для получения числовых оценок формулу (16) можно записать в виде
N N
u2 ( у ) = ЕЕ Z Zjr (Xi, Xj),
i=1j=1
где Zj — величина, определенная в примечании 2 к 5.1.3.
П р и м е ч а н и е 4 — Если для функциональной зависимости, определенной в 5.1.6, все входные величины Xj являются коррелированными, то в правую часть формулы (12) следует добавить слагаемые вида
2 Е Е [p j u (X j) / x j ] [Pj u(Xj) / Xj ] Г (x j, Xj).
j=1 j=j+1