30
Пример — В примере 2 к 4.3.7 оценка значения измеряемой величины имеет вид V=V+AV , где V =
= 0,928571 В, u(V) = 12 мкВ, AV = 0 и u(AV) = 8,7 мкВ. Поскольку dV/ dV=1 и dV / д(AV)=1, то суммарную дисперсию для V можно получить по формуле
u2(V) = u2(V) + u2(AV) = (12-10-6)2 + (8J-10-6)2 = 21910-12 В2.
Суммарная стандартная неопределенность будет равна uc (V) = 15 мкВ, что соответствует относительной суммарной стандартной неопределенности uc (V)/V = 16-10-6 (см. 5.1.6). В данном примере сама измеряемая величина (а не ее разложение) является линейной функцией величин, от которых она зависит, с коэффициентами ci = +1. Из формулы (10) следует, что если Y = c1X1 + c2X2 + , ..., + cN XN, а
N
коэффициенты чувствительности ci принимают значения плюс 1 или минус 1, то u£ (y) = X u2 (х,) .
i = 1
- Если функциональная зависимость имеет вид y = cXp Xlp2,...,X^N , а степени p, представляют собой известные (с пренебрежимо малой неопределенностью) числа, то формулу (10) для суммарной дисперсии можно преобразовать к виду
N
[Uc(У)/ У]2 = X[Pi u(Xi)/ Xi]2. (12)
i = 1
Эта формула имеет такой же вид, что и формула (11а), но вместо суммарной дисперсии uC (у) в нее
входит относительная суммарная дисперсия [uc(y)/y]2, а вместо оценок дисперсий входных величин u2(x) — оценки относительных дисперсий [u(x/)/x,]2. (Относительной суммарной стандартной неопределенностью и относительной стандартной неопределенностью для каждой входной оценки будут соответственно uc(y)/|y| и u(x/)/|x/|; у ф 0, x ф 0).
П р и м е ч а н и е 1 — Если функциональная зависимость имеет вид произведения степенных функций от входных величин, то ее легко преобразовать в линейную зависимость (см. 5.1.5) путем подстановки X) = X,0(1 + 8(),
N
что позволяет получить приближенную формулу (Y - Y)) / Y0 = X Pi &i ■ Если же использовать операцию лога-
i = 1
рифмирования, то новые переменные Z = lnY и W) = lnX(- будут связаны точной линейной зависимостью:
N
Z = ln c + X Pi Wi ■
i = 1
П р и м е ч а н и е 2 — Если каждое pимеет значение либо плюс 1, либо минус 1, то формула (12) принимает
N
вид [uc (y) / y]2 = X[U (xi) / xi]2, т. е. в этом частном случае относительная суммарная дисперсия оценки y просто i=1
равна сумме относительных дисперсий входных оценок x.
- Коррелированные входные величины
- Формула (10) и связанные с ней формулы, такие как (11а) и (12), справедливы только в том случае, если входные величины X независимы или некоррелированны (в данном случае под X понимают случайную величину, в то время как соответствующая ей физическая величина считается постоянной неизвестной — см. примечание 1 к 4.1.1). Если какие-либо из X в значительной степени коррелированны, то эту корреляцию необходимо принимать в расчет.
- Если входные величины коррелированны, то формула для суммарной дисперсии u2(y) результата измерения будет иметь вид
N N \2 N -1 N ,, ,,
u2 (У) = j-ix ЩU(xi, xj) = ХШ U2 (xi) +2 X X ж d£ju(xi, xj
i= 1j = 1 I j i= 1\ •/ i= 1 j =1 +1 I J
где x и Xj являются оценками, соответственно X и X, а u(x, Xj) = u(xj, x) — оценка ковариации x; и xj. Степень корреляции между x, и Xj характеризуется оценкой коэффициента корреляции (С.3.6)
, . u (xi,xj)
r (Xi • XJ) = u (Xi) u (Xj )