75
F.2.2 Член в квадратных скобках, который можно обозначить Z, представляет собой сумму квадратов двух независимых величин, каждая из которых подчиняется стандартному нормальному распределению. Следовательно, случайная величина Z подчиняется распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы [42, стр. 177], так что
S Y = u2(X-,) Z,
где Z имеет плотность распределения вероятностей
9z (z) = Х2 (z) = e-z/2/2.
F.2.3 Применение общей формулы для плотности распределения вероятностей функции случайной величины [42, стр. 57—61] в случае дифференцируемой и строго возрастающей функции аргумента (в данном случае Z) с заданным распределением позволяет получить плотность распределения вероятностей для выходной величины SY в виде
F.2.4 Это позволяет получить выражения для математического ожидания и дисперсии для SY:
Sy = E (SY) = Jn gsY (n) dn = 2 u 2(^), 0
u2(Sy) = V(SY) = J(n -Sy)2gsY(n)dn = 4u4 (x^. 0
Таким образом, стандартное отклонение составляет 2u2(x-]) что согласуется с результатами, приведенными в F.1.
F.2.5 Интегрирование плотности распределения вероятностей дает функцию распределения следующего
вида:
(
Gsy(n)= 1 - exp
V
F.2.6 Если Sya — такое n в формуле (F.3), для которого Gsy (n) = a для любого a, удовлетворяющего условию 0 < a < 1 - p, тогда
Sya = -2u2 (X1) ln (1 - a),
и 100p %-ный интервал охвата для SY (см. 7.7) имеет вид:
[Sya , Syp + a] = [-2u2 (X1) ln (1 - a), -2u2 (X1) ln (1 - p - a)]. (F.4)
Длина этого интервала будет равна
H(a) = -2u2(X1)ln^1 - TpaJ.
F.2.7 Наименьший 100p %-ный интервал охвата соответствует такому a, для которого H(a) минимально (см. 5.3.4). Так как H(a) — строго возрастающая функция a для 0 < a < 1 - p, то H(a) достигает минимума в точке a = 0. Таким образом, наименьший 100p %-ный интервал охвата для SY имеет вид:
[0, -2u2 (X1) ln (1 - p)].
Для u(X1) = 0,005 наименьший 95 %-ный интервал охвата представляет собой [0; 0,00014998].
F.2.8 Вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата для SY соответствует a = (1 - p)/2 (см. 5.3.3) и имеет вид
[-2u2 (X1) ln 0,975, -2u2 (x1) ln 0,025] = [0,0000013; 0,0001844]. Он на 20 % длиннее, чем наименьший 95 %-ный интервал охвата.