35
круглых скобках станет отрицательным, т. е. средний квадрат будет меньше квадрата среднего). Результаты таких вычислений будут иметь неудовлетворительную точность (см. [4]).
П р и м е ч а н и е 2 — В некоторых особых случаях, когда одной из входных величин приписано t-распределение с числом степеней свободы менее трех, математическое ожидание и стандартное отклонение Y, соответствующие плотности распределения вероятностей gfy(n), могут не существовать. Как следствие, формулы (16) и (17) не способны обеспечить получение содержательных результатов. Однако интервал охвата для Y (см. 7.7), построенный на основе G, будет сохранять свое содержательное значение.
П р и м е ч а н и е 3 — В общем случае ~ не будет согласовываться с оценкой выходной величины, полученной по наилучшим оценкам входных величин, т. к. для нелинейной функции измерения f(X) математическое ожидание E(Y) = E[f(X)] ф f [E(X)] (см. [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.1.4)]). Независимо от линейности или
нелинейности функции f(X) при M, стремящемся к бесконечности, ~ стремится к E[f(X)], если последняя величина существует.
- Интервал охвата для выходной величины
- Интервал охвата для Y может быть получен на основе дискретного приближения G для GY (п) аналогично тому, как он был построен для GY (п) в 5.3.2.
- Если pM — целое число, то берут q = pM, в противном случае в качестве q можно выбрать целую часть (pM + 1/2). Тогда [ ylow, yhigh] является 100p %-ным интервалом охвата для Y, где ylow = y^r), yhigh = y(r+q) для любого r из ряда r = 1, ..., (M - q). Вероятностно симметричный 100p %-ный интервал охвата можно получить, выбрав r = (M - q)/2, если (M - q)/2 — целое число, или r = int [(M - q + 1)/2] в противном случае. Для определения наименьшего 100p %-ного интервала охвата следует выбрать такое r*, чтобы для всех r, принадлежащих ряду r = 1, ..., (M - q), выполнялось неравенство
y (r* + q) - y (r*) < y (r + q) - y (r).
П р и м е ч а н и е — Поскольку численные значения, полученные в результате применения метода Монте- Карло, случайны по своей природе, то некоторые из построенных (M - q) интервалов будут меньше, чем в среднем (при многократном применении метода), а некоторые — больше. Поэтому при выборе наименьшего 100p %-ного интервала охвата следует иметь в виду, что его длина будет, как правило, меньше, чем если бы он был рассчитан на основе GY(n), или, что то же самое, что вероятность охвата для построенного эмпирического наименьшего 100p %-ного интервала охвата будет в действительности меньше, чем 100p. Однако для больших M этим отличием можно пренебречь.
Пример — С помощью генератора псевдослучайных чисел для равномерного распределения в интервале [0,1] были получены 105 псевдослучайных значений, и по этой выборке вышеописанным способом был построен наименьший 95 %-ный интервал охвата. Всего эта процедура была повторена 1000 раз. Средняя вероятность охвата составила 94,92 %, а выборочное стандартное отклонение вероятности охвата по 1000 реализациям процедуры составило 0,06 %.
- Время вычислений
- Большая часть времени вычислений по методу Монте-Карло расходуется на выполнение следующих трех этапов:
- генерирование M случайных значений в соответствии с заданной плотностью распределения вероятностей для каждой входной величины X,- (или совместной плотности распределения для X);
- определение M соответствующих значений на выходе модели;
- расположение M значений выходной величины в неубывающем порядке.
- Время, необходимое на выполнение этих трех этапов, прямо пропорционально M для этапов а) и b) и M ln M для этапа с) (при использовании эффективного алгоритма сортировки [47]).
- В случае простой модели и независимых входных величин время, необходимое для выполнения этапа с), будет преобладающим, а общее время вычислений на персональном компьютере с тактовой частотой процесса в несколько гигагерц при M = 106 составит несколько секунд. Если же процедура сортировки не является затратной по времени, то, обозначив T1 время вычисления одного псевдослучайного значения в соответствии с заданной плотностью распределения вероятностей для входных величин, а Т2 — время вычисления одного значения выходной величины, получим приближенную оценку общего времени вычислений в виде M(T1 + Т2). Для сложной модели преобладающим будет слагаемое MT2.
П р и м е ч а н и е 1 — Если модель проста, a M — очень большое число, например 108 или 109, то время сортировки может быть значительно больше времени вычисления значения на выходе модели. В таком случае предпочтительным может быть оценивание неопределенности не по экспериментальной функции распределения, а по гистограмме, построенной для ряда yr .
П р и м е ч а н и е 2 — Ориентировочно оценку времени вычислений методом Монте-Карло можно выполнить на примере, задав модель измерения в виде суммы пяти членов: