73
Приложение E (справочное)
Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений
Е.1 В 9.2.3.2 проведено аналитическое решение в виде
+2V3[2 - (3/5)1/4] + 3,88,
представляющее собой границы вероятностно симметричного 95 %-ного интервала охвата для выходной величины Y, определяемой через модель в виде аддитивной функции четырех входных величин, каждой из которых приписано одно и то же равномерное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице. В настоящем приложении приведено обоснование этого результата.
Е.2 Плотность равномерного распределения R(a, b) (см. 6.4.2) для случайной величины а равна постоянному значению (b - а)-1 на отрезке a < р < b и нулю вне этого отрезка. Распределение суммы n независимых случайных величин представляет собой свертку их распределений и, если все случайные величины подчиняются распределению R(0,1), имеет вид би-сплайна Bn(р) порядка n [т. е. суммы степенных функций с показателями степени до ( n - 1) включительно] с узлами в точках 0, ..., n [46]. Точное выражение для Bn(p) [6]:
Bn(Р) = tenH)r(P-r)+-1,
^r _ П! , _
где en - r!(n - r)!, z+ = max (z, 0).
В частности, на интервале 0 < р < 1 свертка четырех прямоугольных распределений будет иметь вид
B4 (P) - 6 P3
(на интервалах между другими узлами искомое распределение также будет иметь вид кубических полиномов, но другой формы), следовательно,
(см. также [6]).
Е.3 Левая граница yiow вероятностно симметричного 95 %-ного интервала охвата заведомо лежит между нулем и единицей, поскольку для данной вероятности охвата площадь, лежащая под кривой плотности распределения вероятностей на интервале слева от yiow, равна 0,025, но
Эту площадь можно записать в виде
y low 1 4 1
J B4(P)dp- 24yjow - 40,
0
таким образом, ylow = (3/5)1/4.
С учетом симметрии распределения для правой границы интервала охвата получаем
yhigh = 4 - (3/5)1/4.
Таким образом, вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата имеет вид:
[(3/5)1/4, 4 - (3/5)1/4] = 2 ± [2 - (3/5)1/4].
Распределение для каждой из входных величин с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением имеет вид R(-л/э, л/э). Это означает, что интервал охвата, полученный для свертки
четырех распределений R(0,1), нужно сместить на две единицы влево и умножить его границы на 243, что и даст формулу (Е.1).
66