28
- Арксинусное (U-образное) распределение
- Если известно, что величина X изменяется по гармоническому закону между предельными значениями а и b, a < b, но в момент наблюдения фаза Ф процесса неизвестна, то в соответствии с принципом максимума энтропии для описания Ф следует использовать равномерное распределение R(0, 2п). Тогда распределение X, получаемое в результате преобразования
sin Ф,
где Ф подчиняется распределению R(0, 2п), будет арксинусным (U-образным) распределением U(a, b) [18].
- Плотность распределения вероятностей для X в этом случае имеет вид:
П р и м е ч а н и е — Посредством замены переменной
X = а + (b - а) Z
можно от распределения и(а, b) перейти к стандартному распределению U(0,1) для величины Z:
qZ (z) = \z(1 -z) 1/2 /п, 0<z< 1, qz(z) |0, z<0, z>1.
Случайная величина Z имеет математическое ожидание 1/2 и дисперсию 1/8. Распределение (9) называют арксинусным, т. к. соответствующая ему функция распределения имеет вид
Gz (z) = П arcsin (2z - 1) + 2.
Это частный случай бета-распределения, когда оба параметра распределения равны одной второй.
- Математическое ожидание и дисперсия X имеют вид:
E (X) = ^, V (X) = .
- Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению и(а, b), необходимо случайные значения г, полученные из стандартного равномерного распределения R(0,1) (см. C.3.3), преобразовать следующим образом:
sin2n r.
- Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- Если наилучшая оценка x и соответствующая стандартная неопределенность u(x) являются единственной доступной информацией о величине X, то в соответствии с принципом максимума энтропии случайную величину X следует описывать нормальным распределением N(x, u2(x)).
- Плотность распределения вероятностей для X имеет вид:
- Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению N(x, u2(x)), необходимо случайные значения z, полученные из стандартного нормального распределения N(0,1) (см. раздел C.4), преобразовать следующим образом:
£ = x + u (x)z.