72
D.4 На основе приближения Gy(п), задаваемого формулой (D.1), может быть построено приближение gy (п)=G'y (п) для плотности распределения вероятностей выходной величины, представляющее собой кусочнопостоянную функцию с разрывами в точках п = У(1), ..., У(му Математическое ожидание ~ и стандартное отклонение и (у) величины Y, описываемой плотностью распределения вероятностей gy( п), рассматриваются соответственно как оценка Y и ее стандартная неопределенность и имеют вид:
~ 1 m „
у = M ^ y(r)■ (D.2)
r=1
где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.
П р и м е ч а н и е — Для достаточно больших значений M (например, 105 или более) у и и (у), полученные с использованием формул (D.2) и (D.3), в общем случае с практической точки зрения неотличимы от оценок, полученных по формулам (16) и (17) соответственно.
D.5 Если а — любое значение между нулем и (1 - p), где p — требуемая вероятность охвата (например, 0,95), то границы 100p %-ного интервала охвата могут быть получены на основе Gy(п) с помощью обратной линейной
интерполяции. Чтобы определить нижнюю границу yiow такую, что а= Gy(yiow), необходимо найти индекс г, для которого точки [у(г), рг ] и [у(г + 1), рг + 1] будут удовлетворять условию:
рг < а < рг + 1.
Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:
У low = У (г) + [У(Г+1) - У(г) ]p“ 1 - rpr ■
Аналогично, верхнюю границу yhigh, для которой (p + а) = Gy (у high), вычисляют по формуле
г т p +а - ps
yhigh = y(s) + Ly(s+1) y(s)J ps +1 - ps ,
где индекс s такой, что точки [ys, ps] и [у(5+i), ps+i] удовлетворяют условию
ps < p + а < ps + 1.
D.6 Значение а = 0,025 дает интервал охвата, ограниченный квантилями уровней 0,025 и 0,975. Этот выбор обеспечивает вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата для Y.
D.7 Наименьший интервал охвата может в общем случае быть получен на основе <3у(п) путем определения а, для которого Н(а) = G~y(p + а) - G~y (а) будет принимать минимальное значение. Прямой численный
способ определения минимума — вычисление значений Н(а) для большой по объему выборки {ак} равномерно распределенных значений а в интервале от нуля до (1 - p) и выбор значения а; из этой выборки, которому соответствует минимальное значение {Н(ак)}.
D.8 Вычисление интервала охвата становится проще, если pM — целое число. Тогда значение а, для которого Н(а) минимально, равно г*/М, где г* — значение индекса г, для которого длина интервала [у(г + pM) - У(г)] минимальна среди всех г = 1, ..., (1 - p)/M.