29
- Многомерное нормальное распределение
- Ситуация, описанная в 6.4.7.1, может быть распространена на N-мерную случайную величину X = (X1, ..., XN)T . Если единственной доступной информацией об x является наилучшая оценка x = (x1, ..., xN)T и соответствующая невырожденная положительно определенная матрица неопределенностей
то случайная величина X может быть описана многомерным нормальным распределением N(x, Ux ).
- Совместная плотность распределения X имеет вид
- Математическое ожидание и ковариационная матрица X имеют вид:
E(X) = x, V(X) = Ux.
- Для формирования выборки значений случайной величины, подчиняющейся распределению N(x, Ux ), независимо выбирают N значений z, , i = 1, .., N, случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение N(0, 1) (см. раздел С.4) и формируют
o = x + Rт z,
где z = (z1, ..., zN)\ а R — верхняя треугольная матрица, полученная разложением Холецкого Ux = RTR, (см. раздел C.5).
П р и м е ч а н и е 1 — Вместо разложения Холецкого Ux = RTR может быть использован любой другой способ факторизации матрицы неопределенностей.
П р и м е ч а н и е 2 — Из многомерных распределений в настоящем стандарте рассматривается только многомерное нормальное распределение, часто применяемое на практике. Процедура получения выборки из многомерного нормального распределения приведена выше (а также в разделе С.5). Если необходимо использовать многомерное распределение, отличное от нормального, то необходимо определить процедуру формирования выборки из этого распределения.
П р и м е ч а н и е 3 — В случае независимых случайных величин плотность многомерного нормального распределения (11) превращается в произведение N плотностей одномерных нормальных распределений вероятностей. В этом случае
Ux = diag [u2(xi),..., u2(xN)],
g x(o) = П gx, (ki).
i = 1
(k - x )2'
2u 2( x, ) ,
- {-распределение
- Обычно {-распределение появляется в двух случаях: при оценке ряда наблюдений (см. 6.4.9.2) и интерпретации данных, приводимых в сертификатах о калибровке (см. 6.4.9.7).
Если имеется серия из n независимых наблюдений х-^ ..., xn случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению с неизвестным математическим ожиданием д и неизвестной дисперсией о2, N(д0, о2), и за входную величину X принимают оценку математического ожидания д0, то, припи