22
- Плотности распределения вероятностей входных величин
- Общие положения
- Настоящий раздел содержит рекомендации по выбору в некоторых типичных ситуациях плотностей распределения вероятностей для входных величин X на этапе формулировки задачи оценивания неопределенности. Выбор плотности распределения вероятностей может быть основан на теореме Байеса [20] или на принципе максимума энтропии [8, 26, 51,56].
П р и м е ч а н и е — В некоторых случаях выбор приписываемой плотности распределения вероятностей может быть основан на иных соображениях. Но всегда должны быть зафиксированы основания, положенные в основу этого выбора.
- В общем случае входным величинам X = (X^ ..., XNf соответствует совместная плотность распределения вероятностей gX(o) (см. 6.4.8.4, примечание 2).
- Если X независимы, то каждой величине X может быть поставлена в соответствие плотность
распределения вероятностей 9Xj ), вид которой выбирают, основываясь на анализе наблюдений (оценка
неопределенности типа А) или научных суждениях с использованием (см. [50]) истории наблюдений, данных калибровки и экспертных оценок (оценка неопределенности типа В) [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (3.3.5)].
- В случае, когда независимы только некоторые из X, индивидуальные плотности распределения вероятностей приписывают только этим входным величинам, а для остальных применяют совместную плотность распределения.
П р и м е ч а н и е — В ряде случаев от всех или некоторых зависимостей между входными величинами можно избавиться посредством их замены на другие переменные величины [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (F.1.2.4, H.1.2)]. Такая замена может упростить как применение закона трансформирования неопределенностей, так и закона трансформирования распределений. Более подробно этот вопрос с иллюстрацией примерами рассмотрен в [15].
- Значимая информация для выбора плотности распределения вероятностей для X приведена в GUM [Руководство ИСО/МЭК 98-3 (4.3)].
- В настоящем стандарте не приводятся подробные рекомендации по выбору плотностей распределения вероятностей индивидуальных или совместных. Вид выбранной плотности распределения вероятностей в неявном виде включает в себя знания и практический опыт метролога, составляющего модель измерения, который в конечном счете несет ответственность за качество конечных результатов.
- Справочным руководством по видам распределения вероятностей может служить [18].
- Теорема Байеса
- Если информация о некоторой входной величине X содержится в серии наблюдений, рассматриваемых как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с заданной формой плотности распределения вероятностей, но с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией, то приписываемая входной величине X плотность распределения вероятностей может быть рассчитана по теореме Байеса. Расчет включает в себя два этапа. Сначала неизвестным математическому ожиданию и дисперсии приписывают неинформативное совместное распределение (априорное). Затем, используя теорему Байеса, совместную плотность распределения вероятностей уточняют на основе данных серии наблюдений, в результате чего получают совместную плотность распределения (апостериорную) для двух неизвестных параметров. После этого искомую апостериорную плотность распределения вероятностей неизвестного математического ожидания, которую рассматривают как плотность распределения, приписываемую X, вычисляют интегрированием совместной плотности распределения по области возможных значений неизвестной дисперсии (см. 6.4.9.2).
В соответствии с теоремой Байеса для уточнения плотности распределения вероятностей используют произведение априорной плотности распределения вероятностей на функцию правдоподобия [20]. Функция правдоподобия в случае независимых наблюдений является произведением значений плотностей