ГОСТ ISO/TS 28038—2021
7.3 Выбор интервала определения калибровочной функции в обратной задаче
7.3.1 Рассмотрим использование калибровочной функции
рп(х)
для обратного вычисления (12.2),
то есть для определения значения х0переменной стимула
х,
соответствующего значению у0переменной
отклика у, особенно в случае, когда х0 находится вблизи конца интервала [xmin, xmax], на котором опре
делена функция
рп{х).
Предположим, что
рп(х)
строго возрастает на интервале [xmjn, xmax] (аналогично в
случае убывания). Значения у в конечных точках интервала: ymin =
P
n
(*
m
j
n
)
и ymax =
Рп(хтах).
Для любого
значения у0 из интервала
[ymjn,
Утах] *о °Днозначно определяется путем решения уравнения рл(х0) = у0.
Однако, поскольку у0 обладает неопределенностью, это значение может находиться за пределами
интервала [ymin,
ymax],
в результате чего х0 тоже находится за пределами интервала [xmin, хтах].
Примечание — При прямом вычислении таких проблем нет.
7.3.2 Существует два способа действий в такой ситуации. Первый — рассматривать значения у0
только в интервале
[ymin,ymax],
ЧТ0 ограничивает применение калибровочной функции. Второй способ —
увеличить интервал, на котором определена калибровочная функция. Одна из возможностей состоит
в том, чтобы как можно меньше расширить интервал [min,- х,-, max, х,-], например, до [min,- х, -
Ах,
max, х,-
+ Дх], где Ах = 0,1(max, х,- - min,- х,-). Подходящий интервал в каждом конкретном случае определяют
экспериментальным путем. При выборе подходящего интервала могут быть использованы существую
щие обоснования (при наличии). Наиболее экстремальный случай возникает, когда градиент калибро
вочной кривой мал по величине, поскольку небольшое изменение отклика вызывает большое изменение
стимула [см. калибровочную функцию оптической плотности пленки на рисунке 5 Ь) для значений отклика в
окрестности 0,45]. В настоящем стандарте для примеров выбраны подходящие интервалы [xmjn, хтах].
7.3.3 Интервал [min,- х,-, max,- х,] должен быть увеличен в наименьшей степени для уменьшения
экстраполяции за пределы диапазона данных, что обычно считается небезопасным.
Примечание— В примере с оптической плотностью пленки (см. 7.5.3 и 9.2) использование
Дх = 0,1(max,- х,-- min,- х,-) не подходит при обратной интерполяции для у0, близких к утах, как определено в 7.3.1 с
и(у0) = 0,003, но замена 0,1 на 0,15 оказывается удовлетворительной.
7.4 Использование представления Чебышева
7.4.1 Используя полиномы Чебышева и нормализованную переменную (5), можно применять чис
ленно устойчивые полиномиальные функции со степенями от средних до высоких [2]. Дополнительные
преимущества и свойства описаны в 7.4.2—7.4.4 и проиллюстрированы в настоящем стандарте.
7.4.2 Представление полинома с помощью полиномов Чебышева (9)
рп(х,а) со
степенью
п (п >
0)
сводится к определению параметров (коэффициентов)
а
= (а0,ап)т и границ xmjn и хтах интервала
определения функции. При определении
рп
для всех значений х в интервале [xmin, xmax] рекомендуется
использовать алгоритм Кленшоу [5], как показано в таблице 1. Для сравнения в таблице 1 так же
приведена схема расчетов Хорнера [19] для мономиальной формы
рп =
hQ+ Л?1х + ... + hnxn (см. 7.2.1).
Форма Чебышева может быть оценена с применением 2
п
сложений (или вычитаний) и
п
умножений по
сравнению с
п
сложениями и
п
умножениями в случае мономиальной формы.
Таблица 1— Определение полинома с применением полиномов Чебышева и мономиальной формы
ШагФорма ЧебышеваМономинальная форма
1
t -
(2х
—Xmjn —Xmax)/(xmax —*min)
2
^п+
1
- ^п+2 ~
+
и
о
3 (для г= п, п - 1......0)
Ьг=
2tor+1
- Ьг+2 + аг
1
9г
=
Х9Г+ +hr
4
Рп
=
(ь0
- Ь2+
ао)/2
Рп
=
90
7.4.3Для многих полиномиальных калибровочных функций степень полинома обычно не высока,
это 1, 2, 3 или 4. Для таких случаев использование мономиального представления (6) с нормализо ванной
(не исходной) переменной, как правило, является не сложной в вычислительном отношении задачей. Тем
не менее, рекомендуется при построении полиномиальной калибровочной функции применять
представление Чебышева, особенно если величина калибровочной функции в конечной
точке х интервала, на котором применяют калибровочную функцию, очень велика или очень мала по
сравнению с единицей.
10