ГОСТ ISO/TS 28038—2021
7 Применение полинома в качестве калибровочной функции
7.1 Общие положения
7.1.1 Для данных калибровки в настоящем разделе рассмотрено определение соотношения
у = рп{х), описывающего зависимую переменную у как полиномиальную функцию степени п от
независимой переменной х.
7.1.2 Если степень п заранее не известна, что часто бывает, она должна быть определена. В 7.7
показано определение степени, для которой результирующая функция удовлетворяет критериям
пригодности.
7.1.3 Информация, используемая для определения полиномиальной калибровочной функции,
представляет собой данные калибровки и все неопределенности и ковариации данных калибровки. В
настоящем стандарте данные калибровки обозначены (х,-, у,), / = 1
.....
т, то есть т пар измеренных
значений х и у. Также должна быть установлена наивысшая степень лтах полинома, где лтах меньше
числа различных значений хг
Примечание — В приложении D ISO/TS 28037:2010 указано, как неопределенности и ковариации, свя
занные с измеренными значениями отклика и стимула переменных, могут быть получены в некоторых случаях с
интерпретацией этой информации.
7.2 Работа с полиномами
7.2.1Полином со степенью выше единицы является нелинейным по переменной х, но линейным
по своим параметрам (коэффициентам). Полином степени п (порядок п+1) имеет л+1 коэффициент. Его
можно записать в мономиальной форме с коэффициентами h0, ... , hn:
п
рп(х) = h0+h^x +h2x2+...+hnxn = J hrx r.(4)
r=0
7.2.2 Функции 1,х,х2,...,хл известны как мономиальные базисные функции для полиномов степени
л. Полином степени 1 — прямая линия, степени 2 — квадратичная функция, степени 3 — кубическая
функция и т. д. Причиной обращения к полиномам является то, что для их определения требуется
только л сложений и л умножений (7.4).
7.2.3 Полиномы часто подходят для представления гладкой кривой или данных, генерированных
на основе гладкой кривой на заданном интервале. Полиномы чрезвычайно гибки: математически
полином соответствующей степени может аппроксимировать любую гладкую (непрерывную) кривую
с заданной точностью. Полиномы невысокой степени менее подходят для представления кривых с
резкими изменениями значений или градиента или для описания эффекта насыщения.
7.2.4 Несмотря на то, что описание полиномиальных функций в мономиальной форме [формула
(4)] проясняет их природу, использование этой формы может привести к трудностям при расчетах
и интерпретации вклада отдельных членов. Первая трудность заключается в том, что при |х| »1
члены хг становятся очень большими с увеличением г. Аналогично, для |х| «1 члены хг становятся
очень малыми с увеличением г. Этот дисбаланс может быть устранен за счет работы с полиномами с
нормализованной переменной t, принимающей значения в интервале [-1,1], которая линейно зависит
от х, таким образом гарантируя, что (преобразованный) полином также имеет степень п по переменной
t. Если х принадлежит интервалу [xmin, xmax], то
I _-
Xmjn
- xmax
уу
Amax
_
Amin
’ ’
со всеми степенями принадлежит интервалу [-1,1]. Полином может быть преобразован к виду
п
pn(t)= 9о+q j+q ^ 2+ - + qntn = 2 я /(6)
r=0
с некоторыми коэффициентами q0,...,q Вторая трудность связана с тем, что, особенно при больших
г, мономиальная базисная функция f +2 выглядит аналогично f в интервале [-1,1]. На рисунке 2 а)
8