ГОСТ ISO/TS 28038—2021
изображены мономиальные функции t2 (верхняя кривая), t4, f6 и t8 (нижняя кривая). Сходство этих
базисных функций приводит к плохой обусловленности при определении мономиальных параметров,
что означает потерю точности. Эта ситуация быстро ухудшается с увеличением степени, в результате
чего потеря точности может стать катастрофической для более высоких степеней полинома. Третья труд
ность связана с интерпретацией коэффициентов в мономиальной форме калибровочной функции при
переходе к исходной переменной, а именно в формуле (4). Тем не менее, в формуле (6), мономиальной
форме с преобразованной переменной t, член с f вносит вклад со значением от -| qr | до | qr |, причем по
крайней мере одно из этих значений достигается в конечных точках интервала [-1,1].
на интервале [-1,1]
X — независимая переменная t; У — зависимая переменная
Рисунок 2 — Мономиальные функции и полиномы Чебышева
7.2.5Существуют другие формы базисных функций, которые имеют даже лучшие свойства, чем
формула (6). Полиномы Чебышева Tr(t), используемые в настоящем стандарте, являются одним из та
ких наборов базисных функций. Они определены повторением на интервале [-1,1] (см. [6], с. 1):
T0(t) = X 7i(f)« f, Tr(t) = 2tTr_1(t)-T r_2(t), rz 2.(7)
Полиномы Чебышева также могут быть определены с помощью тригонометрических соотношений:
rr(cos0) = cosr0, cosr0 = f.(8)
На рисунке 2 б) изображена T2{t) (с наименьшей периодичностью), 73(f), T4(f) и T5(t) (с наибольшей
периодичностью). В целом можно показать, что набор Tr(t) приводит к гораздо лучшим результатам, чем f.
Чебышевское представление полинома степени п:
п
Рп(х) = Рп{0 = a0T0(t) +...+anTn(t) = J arTr(t).
(
9
)
г-О
Примечание — Другой класс базисных функций, предложенный Форсайтом [16], описан в [7], где при
веден алгоритм для преобразования формы Форсайта в представление Чебышева. Форма Форсайта основана на
генерации набора базисных функций, которые ортогональны относительно значений х. Хотя форма Форсайта об
ладает превосходными числовыми свойствами, базисные функции Форсайта зависят от значений х, что делает их
использование в сочетании с полиномами из других источников неудобным. Кроме того, форма Форсайта не была
обобщена на данные, имеющие неопределенности значений х или какие-либо ковариации.
9