ГОСТ Р 8.745—2011/ISO/TR 14999-2:2005
Приложение В
(справочное)
Ортогональные функции на «нетривиальных поверхностях»
0
В.1 Общие сведения
В данном приложении даны рекомендации по вычислению ортогональных полиномов, описывающих тре
буемые характеристики поверхностей произвольной формы с учетом необходимой весовой функции. Математи
чески это не новый метод, но ранее он не применялся в оптической практике. В этом приложении используется
термин функция, а не полином, поскольку этот метод применим к любым базисным функциям. Например, для
точного моделирования дефокусировки можно пользоваться функцией
R
-
<1
- соев).
Приводятся несколько примеров ортогональных полиномов без деталей вычислений, которые упрощают
ся с использованием матриц, с помощью выстраиваемых друг за другом полиномов, причем детерминирован
ным путем (без итераций и аппроксимаций).
В.2 Предварительные рассмотрения
Прежде всего нужно решить, будут пи используемы функции/полиномы для сохранения данных или для их
анализа (обработки).
a) Сохранение данных
В этом случае важно иметь в виду, чтобы функции были ортогональны или. по крайней мере, принимать во
внимание частичную потерю ортогональности, в противном случае реконструкция волнового фронта, хоть и не
значительно. но может оказаться ошибочной.
Часто в цифровых интерферометрах приходится иметь дело с дискретными зрачками. В этом случае прихо
дится создавать специальное множество ортогональных функций для каждого типа зрачка.
b
) Анализ данных
Потеря ортогональности может оказывать влияние на амплитуду вычисляемых функций.
Если функции «почти» ортогональны (например, функции Цернике на дискретном зрачке), то погрешность
будет мала. Для кривизны «23». например, погрешность равна 1/л - 2; для более высоких порядков она может
быть больше.
В.ЗОбщий метод и определения
Даже не в системе прямоугольных координат определим х и у как основные координаты.
Сформируем ряды {/ (х. у),
Цх.
у)
.....
/„(х.у)}.
В.3.1 Основная поверхность
«зрачок»
П р и м е ч а н и е — Весовая функция (см. В.3.2) может участвовать в этом определении.
U
В.3.2 Весовая функция
и-(х.у).
Амплитуда волнового фронта на поверхности зрачка.
В.3.3 Корреляция двух функций
(*.уШ х.у).
Корреляция: С(/,Г2) = / J[({w(x. у)7,(х. у)} (w(x. у) /
2
(х. y}) d
2
S).
Краткая запись: С(1, 2) =
C(fJ2).
В.4 Генерирование функций
В.4.1 Начальные условия
В оптике по очевидным причинам предпочтительно начинать ряды функций с {1, х. у} или даже {1. х. у. г2}.
П р и м е ч а н и е — ИСОЮ110-5 и ИСОЮ1Ю-14 определяют «центр» зрачка таким образом, что три первых
функции всегда ортогональны, (г2) никогда не может быть ортогональна с {
1
}. поскольку, как и {
1
}. эта функция
всегда положительна.
В.4.2Свойства-примеры
В.4.2.1 Пример 1— Функции (полиномы) Цернике
Z,,
должен иметь форму {/^(r cosq))0} ={г2" * р•созч/}. где лир — целые числа. На практике косинусный член
подвергается растяжению и записывается в виде
{г*п
*
р
cos
рчр}. Это значительно упрощает вычисление. Поли
номы Цернике наиболее просты для генерации.
В.4.2.2 Пример 2 — «Квадратно-радиальные» функции
Рассмотрим пример: 26 = {(Зг
2
- 2) -
г■
cosq>}, который также может быть переписан в виде
3
-
26 ={(3r cos<j>
2 )г-
cos<?} ={(Зг
2
х - 2х)}.
45