ГОСТ Р ИСО/МЭК 31010— 2011
Общий вид теоремы Байеса:
Р(А | В) ={Р(А) Р(В!А)}/1Р(В
\Е,)
Р(Е|).
где Р(Х) — вероятность события X;
P(X|Y)— вероятность события X при условии, что произошло событие Y;
Ei — i-e событие.
В самой простой форме теорему Байеса можно записать:
Р(А|В) = {Р(А) Р(В1А)},’Р(В).
Байесовский анализ отличается от классической статистики предположением, что параметры распреде лений
являются не постоянными, а случайными переменными. Вероятность Байеса можно легко понять, если
рассматривать ее как степень уверенности в определенном событии в противоположность классическому подхо
ду. основанному на объективных свидетельствах. Поскольку подход Байеса основан на субьвктивной интерпрета
ции вероятности, то он гложет быть полезен при выборе решения и разработке сетей Байеса (или сетей доверия).
Сеть Байеса представляет собой графическую модель, представляющую переменные и их вероятностные
взаимосвязи. Сеть состоит изузлов, представляющих случайные переменные, истрелок, связывающих родитель
ский узел с дочерним узлом (родительский узел — переменная, которая непосредственно влияет на другую
дочернюю переменную).
В.26.2 Область применения
Теории и сети Байеса широко применяют по причине их интуитивной понятности и благодаря наличию
соответствующего программного обеспечения. Сети Байеса применяют в различных областях: медицинской диаг
ностике. моделировании изображений, генетике, распознавании речи, экономике, исследовании космоса и в
современных поисковых системах. Они могут находить применение влюбой области, где требуется установление
неизвестных переменных посредством использования структурных связей и данных. Сети Байеса могут быть
применены для изучения причинных связей, углубления понимания проблемной области и прогнозирования
последствий вмешательства в систему.
В.26.3 Входные данные
Входные данные для Байесовского анализа и сети Байеса подобны входным данным для модели Монте-
Карло. Для сети Байеса основными этапами являются:
- определение переменных системы;
- определение причинных связей между переменными;
- определение условных и априорных вероятностей;
- добавление объективных свидетельств к сети;
- обновление доверительных оценок:
- определение апостериорных доверительных оценок.
В.26.4 Процесс выполнения метода
Теория Байеса может быть применена различными способами. В данном примере рассмотрено построе
ние таблицы Байеса для проведения медицинских исследований по определению наличия у пациента заболева
ния. До начала исследований предполагается, что у 99 % населения этого заболевания нет. у 1% — заболевание
есть (априорная информация). Достоверность теста такова, что если у человека имеется заболевание, то
резуль таты тестов положительны в98 %. Если у человека заболевание отсутствует, результаты теста
положительны в 10 %. Ниже приведена таблица Байеса.
Т а б л и ц а В.5 — Таблица Байеса
Признак
Априорная
вероятность
Условная вероятность
правильности теста
Произведение
вероятностей
Апостериорная
вероятность
Есть заболевание
0.01
0.98
0.0098
0.0901
Нет заболевания
0.99
0.10
0.0990
0.9099
Сумма
1
0.1088
1
Применяя теорему Байеса, произведение определяют умножением априорной вероятности на условную
вероятность. Апостериорные вероятности определяют делением значения отдельного произведения на сумму
произведений. Результаты расчета показывают, что в отношении положительного результата теста априорное
значение возросло с 1 % до 9 %. Более того, велика вероятность того, что даже при положительном результате
теста наличие заболевания маловероятно. Анализ уравнения (0.01х 0,98)/((0.01 х 0.98) + (0,99 х 0.1) показывает,
что положительный результат при отсутствии заболевания важен для апостериорных значений.
55