ГОСТ Р 54521—2011
20
17 Скаляры, векторы и тензоры
xyz
x xy yz z
Скаляры, векторы и тензоры — математические объекты, используемые для обозначения некото-
рых физических величин и их значений. Они не зависят от выбора системы координат, однако каждый
компонент вектора или тензора зависит от этого выбора.
Важно различать компоненты вектора а и базисные векторы, т. е. величины a , a и a и проекции
вектора на оси координат a e , a e и a e . Компоненты вектора часто называют его координатами.
Декартовы компоненты положения вектора определяют декартовы координаты точек начала и
конца данного вектора.
Вместо того, чтобы рассматривать каждую координату вектора как значение физической величи-
ны (т. е. числовое значение, умноженное на единицу измерений), вектор может быть записан как вектор
числовых значений, умноженный на единицу измерений (скаляр). Все единицы измерений являются
скалярами.
x
Пример —
F = (3 Н,– 2Н, 5Н) = (3,– 2, 5) Н (в декартовых координатах),
где F — сила;
3Н — первый компонент, т. е. F вектор силы F с числовым значением 3 и единицей измерений Н
(другие компоненты: — 2Н и 5Н) соответственно;
(3, – 2, 5) — вектор числовых значений;
H — единица измерения силы.
123
iij
i j
То же относится к тензорам второго и более высокого порядка.
В данном разделе рассмотрены только декартовы прямоугольные координаты. Более общие слу-
чаи, требующие более сложных представлений, в настоящем стандарте не рассмотрены. Декартовы
координаты обозначают x, y, z или x , x , x . В последнем случае используют индексы i, j, k, l, каждый со
значениями от 1 до 3, и следующее соглашение суммирования: если такой индекс появляется неодно-
кратно и суммирование по диапазону этого индекса понятно, то индекс под знаком
S
может быть опущен.
Скаляр является тензором нулевого порядка, а вектор — тензором первого порядка.
Компоненты векторов и тензоров часто обозначают одинаковыми символами с соответствующими
векторами и тензорами, например, используют обозначение а для компонент вектора а, T — для ком-
понент тензора второго порядка T и ab для компонент векторного произведения a × b.
Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров приведены в таблице 17.1.
Т а б л и ц а 17.1 — Знаки, символы, выражения для систем скаляров, векторов и тензоров
Номер зна-
ка, символа,
выражения
Знак, символ,
выражение
Значение и устный экви-
валент
Примечания, примеры
17.1
Вектор a
17.2
a + b
Сумма векторов a и b
(x a)
i
= xa
i
Модуль вектора a.
Норма вектора a
xyz
a
=
a
2
+
a
2
+
a
2
.
Модуль нулевого вектора равен 0
a
a
Для обозначения вектора может быть использована
стрелка над буквенным символом
(a
+
b)
i
=
a
i
+
b
i
17.3xaПроизведение скаляра или
координаты x и вектора a
17.4|a|
a
Обозначение ||a|| также может быть использовано.
См. 9.16
17.50Нулевой вектор
0
17.6e
a
Единичныйвектор
правления a
a
на- e = a/|a|, a ≠ 0.
a
=
|a|e
a
xyz
17.7 e , e , e
e
1
, e
2
, e
3
Единичные базисные век- Обозначения i, j, k также могут быть использованы
торы.
Базисные векторы декар-
товой системы координат