ГОСТ Р ИСО 22514-6—2014
Приложение А
(справочное)
Обоснование использованных формул
А.1 Полезные свойства многомерного нормального распределения при вычислении индексов
воспроизводимости
Плотность d-мерного нормального распределения со средним р и ковариационной матрицей 21имеет вид:
Г(х) =
----
j — -e x p f-^ x -p /r’tx -M )]. xeR*.
если для ковариационной матрицы 1 существует обратная матрица 2!’\ Здесь X и ц - d-мерные векторы, 21
— матрица размерности dxd. Векторы являются вектор-столбцами, а Тозначает транспонирование матрицы или
вектора, т.е. Л* представляет собой вектор-строку, d-мерное нормальное распределение со средним р и ковари
ационной матрицей 21обозначают Л/а(р, 21).
Контуры постоянной плотности определяют из уравнения
j x | ( x - p ) T £-, ( x - p ) ^ c
2
j .
Для d = 1это интервалы, для d = 2 — эллипсы, для d г 3 - эллипсоиды.
Вероятность того, что значения характеристики процесса находятся вобласти, ограниченной эллипсоидом,
может быть вычислена с помощью ^-распределения с d степенями свободы. Если X подчиняется многомерному
нормальному распределению со средним ц и ковариационной матрицей 21, то
p( ( X- p) T S ,( X - p ) s c 2) =F J(tf((c2).
где F- функция распределения у с d степенями свободы.
Из этого следует, что контур эллипсоида
х |(х -р )г 5Г’ (х
ограничивает область соответствующую вероятности р. F .’d){p)~ квантиль у* распределения уровня р с d
степенями свободы. Этот квантиль иногда обозначают(d).
Если X.,Хп - выборка из d-мерного нормального распределения со средним р и ковариационной матри
цей 21, то оценки р и S для р и I вычисляют следующим образом:
Й = 7 = - £
х
, .
S = S = - 1 - £ ( х ; -УХх, - х ) г .
А.2 Обоснование определения многомерного индекса воспроизводимости
Рассмотрим сначала индекс С. в одномерном случае. Предположим, что полем допуска является интервал
[L, С/]. Пусть X подчиняется распределению W(p. о2) и р = (U * LY2. т.е. центр распределения находится в сере
дине поля допуска. Вероятность того, что характеристика процесса находится внутри поля допуска, имеет вид:
20