ГОСТ Р ИСО 12491—2011
мие
sw,
затем вычисляют
t0
=и сравнивают его с критическим значением
tp
(см. таблицу 3),
являющимся квантилем (-распределения уровня а = (1 - р) (близкого к нулю) с v =
(п
- 1) степеня ми
свободы. Если (0<
tp,
то гипотезу о том. что обе выборки принадлежат совокупностям с одинаковым
(неизвестным) средним ц. принимают, в противном случае эту гипотезу отклоняют. (Дополнительную
информацию см. в ИСО 3301 (6J).
6.5 Проверка гипотез о дисперсии
Для проверки гипотезы о том. что выборка принадлежит совокупности с дисперсией о2, на основе
выборочныхданных вычисляютдисперсию выборки s2изначение /.о заданноеввиде Хо
~(п
-1
)s21а2.
Если
s2
< о2, то значение Хо сравнивают с критическим значением Xpi (см. таблицу 2). которое
является квантилем с v = (л - 1) степенями свободы и уровня
а = pv
Если Хо £ Xpi, то гипотезу о
том. что выборка взята из совокупности с дисперсией о2, принимают, в противном случае эту гипотезу
отклоняют.
Если s2 > о2, то значение Хо сравнивают с критическим значением Х
Р2
(см. таблицу 2). которое
является квантилем х2-распределения с v = (л - 1) степенями уровня а = (1 - р,). Если Хо й Хр
2
- то ги
потезу о том. что выборка принадлежит совокупности с дисперсией о2, принимают, в противном случае
эту гипотезу отклоняют.
Для проверки гипотезы о том. что две выборки с объемами п1 и л2 принадлежат совокупностям
с одинаковой (неизвестной) дисперсией а2, вычисляют дисперсии выборок s2 и sf (подстрочные ин
дексы выбирают так. чтобы sf £s2), значение F0 = s,2
Is*
и сравнивают его с критическим значени ем
Fp.
являющимся квантилем F-распределения (см. таблицу 4) (дополнительную информацию см. в ИСО
2854 (2)) с v, = (л,-1 ) и v2= (л2- 1) степенями свободы уровня а = (1-р). Если
F0 <.Fp,
то гипотезу
принимают, в противном случае эту гипотезу отклоняют.
6.6 Оценка квантилей
При различных предположениях относительно вида распределения вероятностей применя
ют различные методы оценки квантилей. Наиболее эффективными методами оценки квантилей
хр,
не зависящими от вида распределения, являются методы, основанные на порядковых статистиках.
В соответствии с наиболее простой процедурой выборку хг х2
......
хп
преобразуют в порядке ее убыва
ния. получая выборку
х\ <. х’2 й...,й х’п,
а затем определяют оценку квантиля в виде
хр osl
= х* , 1t где
к —
целое число, удовлетворяющее неравенству
к < пр < к
+1.
Плотность распределения этой оценки
Хр esl
р-квантиля имеет вид
»)“[1- 1)J * * V(*p..M),
где il(x) — функция распределения совокупности:
((х) — плотность распределения совокупности.
При увеличении объема выборки
п
плотность
д{хр esj)
стремится к нормальной плотности рас
пределения со средним хри стандартным отклонением (-^РО -
Р)1n)lf{xp
).
Для совокупности, имеющей нормальное распределение, следует использовать приведенный
ниже метод в зависимости от того, известно или неизвестно стандартное отклонение совокупности о.
Если стандартное отклонение совокупности о известно, то оценка р-квантиля имеет вид
= * +
к«°-
Если значение о неизвестно, то
xpt)Sl
= х +
ksa.
Константы
ка
и
ks
зависят от объема выборки
п.
заданной вероятности р. соответствующей кван
тилю хр. и у.
Константы
к„
и
ks,
полученные на основе нормального и нецентрального f-распределения соот
ветственно (дополнительную информацию см. в ИСО 3207 [5]). приведены в таблицах 5 и 6 для ве
роятностей р. равных 0,90; 0.95 или 0.99 (верхние квантили), и доверительной вероятности у, равной
0.05; 0,10; 0,25: 0,50: 0.75; 0.90 и 0,95. Для вероятностей р. равных 0.10; 0,05 и 0.01 (нижние квантили),
11