ГОСТ РИСО 12491—2011
Если стандартное отклонение
с,
совокупности неизвестно, то двусторонний доверительный интер
вал. соответствующий доверительной вероятности у = (2р - 1). имеет вид
х - tps fjn <.д £ х + tpSlifii,
где s — стандартное отклонение выборки;
tp
— квантиль ^-распределения уровня р с v = (л - 1) степенями свободы:
р — вероятность (близкая к единице), указанная в таблице 3.
(Дополнительную информацию см. в ИСО 2854 [2]).
Из приведенных выше формул может быть получен односторонний доверительный интервал до
верительной вероятности
у
= р. имеющий только нижнюю или только верхнюю границу.
6.3 Оценка дисперсии
Наилучшей точечной оценкой дисперсии совокупности о2 является дисперсия выборки s2.
Двусторонний доверительный интервал для дисперсии о2, соответствующий доверительной веро
ятности у = (р2 - р,). имеет вид
1
(П
- 1
)S2/ур22 йа2
£ (Л -
)S2 1у2„
2
где
У.р
и Xpi — квантили у2-распределения уровней р, и р2 с v= (л - 1) степенями свободы (вероят
ности р. и р
2
приведены в таблице 2).
(Дополнительную информацию см. в ИСО 2854 [2]).
Из приведенной формулы может быть получена граница одностороннего доверительного интер
вала для о2 только с верхней доверительной границей (нижняя граница равна нулю). В этом случае
соответствующая доверительная вероятность у равна (1 —р,).
Оценки стандартного отклонения о можно получить путем извлечения квадратного корня из оце
нок дисперсии о2.
6.4 Проверка гипотез о среднем
Для проверки гипотезы о том. что выборка принадлежит совокупности с математическим ожида
нием р, если известно стандартное отклонение о, на основе выборочных данных рассчитывают значе
ние и0 =|х-ц |^ л /<т и сравнивают его с критическим значением
ир
(см. таблицу 1). которое является
квантилем нормированного нормального распределения для уровня а = (р - 1). близкого к нулю. Если
и0
<
ир,
то гипотезу принимают, в противном случае гипотезу отклоняют.
Если стандартное отклонение совокупности <тнеизвестно, то для проверки той же гипотезы на ос
нове выборочных данных рассчитывают значение /0:
t0
= | х - р |
*Jnls
и сравнивают его с критическим
значением
tp
(см. таблицу 3). которое является квантилем f-распределения для уровня а = (1 - р) (близ
кого к нулю)сv «
(п
- 1) степенями свободы. Если
t0 < t ,
то гипотезу о том. что выборка принадлежит
совокупности со средним р, принимают, в противном случае гипотезу отклоняют.
Для проверки гипотезы о том. что две выборки объемами л, и
п2
принадлежат совокупностям с
одинаковым (неизвестным) средним р. если дисперсии совокупностей одинаковы и известны (о2), на
основе выборочных данных вычисляют значение
uQ
=| х, - х2 |^л,л2 /(ст^л, + л2 ) и сравнивают его с
критическим значением
ир
(см. таблицу 1). которое является квантилем нормированного нормального
распределения уровня « = (р - 1) (близкого к нулю). Если
и0
<
ир,
то гипотезу принимают, в противном
случае гипотезу отклоняют. Если стандартные отклонения о обеих совокупностей одинаковы, но неиз
вестны. то для проверки той же гипотезы на основе выборочных данных вычисляют f0 по формуле
1
1
*0
= 1*1 - *2
№ п\ * п2 -
2У1,
л
2
/ ^ (
л
, - )sf * (л
2
- )sf ](л, + л2).
Полученное значение сравнивают с критическим значением
tp
(см. таблицу 3), являющимся кван
тилем f-распределения уровня а = (1 - р) (близкого к нулю) с v = (л, + л2 - 2) степенями свободы.
Если /0 s
t.
то гипотезу о том. что выборки принадлежат совокупностям с одинаковым средним
ц (неизвестным), принимают, в противном случае гипотезу отклоняют. Для двух выборок одинаково
го объема л,= л2 = л наблюдаемые значения могут быть объединены в пары (парные наблюдения)
vv, = (х,. - х2,). для которых определяют выборочное среднее
w
и выборочное стандартное отклоие-
10