((Принадлежит) | ff Prb).
"= " утверждает, что сущность, обозначенная символом, идентична
сущности, обозначенной, и "принадлежит" утверждает, что сущность,
обозначенная, - это член класса, обозначенного символом. Для того чтобы
высказывание " принадлежит " было истинным, должен обозначать класс,
но это высказывание значимо независимо от того, что обозначает. Такая
ситуация характерна для подходов интерпретируемой логики предикатов и
вынуждает использовать явные ограничения. Должна быть введена аксиома,
подобная следующей:
"Для любогоДля любого(Если (Принадлежит) То Класс)".
Достаточность этих предикатов-примитивов для логики и математики давно
продемонстрирована. В обычных формулировках достаточно пяти схем аксиом и
семнадцати явных аксиом.
Количество необходимых определений зависит от объема математики,
необходимой для описания определенной рассматриваемой проблемной
области. В последующем будут излагаться только понятия, относящиеся к
примеру приложения Б, и то неформально, главным образом, чтобы ввести
обозначения. Во-первых, вводится понятие определенных описаний:
"The" обозначает такую единственную сущность, что высказывание,
утверждаемое Р, - истинно, если такая единственная сущность существует.
Описания - это термы или термы специфической формы, которые
определяются в контексте всех возможных позиций в атомарных предложениях.
Все другие сложные термы, в конечном счете, редуцируются к определенным
описаниям. Таким образом, точное определение понятий "класс всехтаких, что
Р", обозначаемого "{\ }" определяется следующим образом: ({ \ } = The
(Класс& Для всех (Если Для некоторого(Принадлежит ) То (
Принадлежит) |ff ))).
Это определение вместе с соответствующими аксиомами (не приведенными
здесь) гарантирует, что- экстенциональный, т.е. что два класса идентичны
тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же члены, и что известные
парадоксы класса исключаются.
Классы могут задаваться посредством перечисления членов:
ИлиИлиИли ... Или.
Упорядоченные пары могут быть определены следующим образом:
.
Тогда отношения являются классами упорядоченных пар:
Для некоторогоДля некоторого