ГОСТ Р ИСО 18437-2— 2014
6 Анализ результатов
6.1 Модуль упругости и коэффициент потерь
Действительную и мнимую части комплексного модуля Юнга рассчитывают по значениям дли
ны. массы и плотности образца, а также по параметрам, полученным в результате решения волново
го уравнения численными методами на экспериментально определенных резонансных частотах. Вол
новое уравнение при граничных частотах, используемых в методе настоящего стандарта, описано в
(3). [4]. Решение волнового уравнения приводит к двум связанным трансцендентным уравнениям:
R£cos
Rp
/ч_sin
ф
sinh //(sin £ +£ )+sin £ cosh /? +
--------
= 0 ,(2)
A
cosh /7 (c o s £- /?£ sin
%)+ Rfi
cos £ sinh
A
=
(3)
где
А
и
(p
- соответственно модуль и фаза (в градусах) частотной характеристики;
R
- отношение массы акселерометра и установочного блока на свободном конце образца к
массе образца;
и
р
- параметры, относительно которых необходимо разрешить систему уравнений (2) и (3).
Действительная часть модуля Юнга £" может быть рассчитана по формуле
v
Е’ = pafL
jk2- ^ 2^ ]} ,
(4)
где
р -
плотность материала образца, кг/м3;
L
- длина образца, м.
(о
- угловая частота на резонансе (
о) = 2лf .
где / - частота резонанса), рад/с.
Коэффициентом потерь или tan
&
. где
3
- угол задержки между деформацией и механическим
напряжением в образце, рассчитывают по формуле
tan 5 = £ ’/£ ’ = 2#/?/(^2 +/?2).(5)
Уравнения (2) и (3) относительно параметров £ и / / для каждого резонанса решают методом
Ньютона-Рафсона (методом касательных). В качестве начальных приближений берут решения урав
нений (2) и (3) для случая нулевой массы акселерометра с установочным блоком на конце стержня, т.
е. при
R
= 0. Для данного случая система решается аналитически, что дает:
f - f r -
Of-
(
6
)
Р
= sinh-1 ) — ) .
(7)
Используя начальные оценки (6) и (7). выполняют процедуру последовательных приближений,
которую останавливают, когда результаты двух последовательных итераций различаются не более
чем на 10‘5.
Примечание 1 - В некоторых других методах коэффициент потерь определяют по полуширине частот
ного пика на резонансе или добротности
Q .
Такой способ применим только в случав материалов с малыми по
1
терями. для которых коэффициент потерь не превышает 0.1. Используемый в настоящем стандарте метод на
основе решения волнового уравнения применим для материалов с любым значением коэффициента потерь.
Примечание 2 - Метод, установленный настоящим стандартом, позволяют получать значения модуля
Юнга в диапазоне от 10* до 10 Па. что соответствует значениям модуля Юнга большинства общеупотреби
тельных вязкоупругих материалов. Это справедливо и в отношении коэффициента потерь, значения
которого могут находиться в диапазоне от 0,01 до 5.
8