ГОСТ 33963—2016
9.3 Методдинамического анализа
Для анализа динамического поведения системы рассматривается следующее уравнение движе
ния:
М X ♦ С Х ♦ К Х = - М
r-Xg(t)-Fe.
(11)
где М — диагональная матрица масс:
С — матрица демпфирования:
К — матрица жесткости:
г— векторнаправляющихкосинусовмеждусейсмическим воздействием иобобщеннымикоордина
тами;
Х д (f) — сейсмическое воздействие, определенное в терминахускорения грунта (основания);
Fe — вектор реактивных сил, возникающих от дополнительных, в том числе от нелинейных, связей
системы;
X — векторузловых перемещений:
X — вектор узловых скоростей;
X — векторузловых ускорений.
Для решения уравнения (11) выполняется модальное преобразование
X = Ф У,(12)
гдеФ — матрица, состоящая из лстолбцов форм собственных колебанийсистемы;
У— новые модальные обобщенные координаты.
Умножив каждое слагаемое формулы (11) на значения формулы (12) и все значения равенства
умножив на Фт. получим;
Фт М Ф У ч - Ф г С Ф Y * ФТ К Ф У = -Ф г М г-Х р (0 -Ф г Fe.(13)
Учитывая свойства ортогональности матриц масс, жесткости идемпфирования, можно записать:
ФТ М Ф = 1.(14)
Фт С Ф = 2--ссь,(15)
ФТ К Ф=&1 ,
(
16
)
где / — единичная матрица;
2 £„ ■о\, — диагональная матрица модальногодемпфирования:
Cl* — диагональная матрица модальнойжесткости;
1
Сп — л-я собственная частота колебаний системы,
— коэффициент модальногодемпфирования, соответствующий л-й собственной частоте.
После указанных преобразований уравнение (3)принимает вид:
У „ * 2 Л , <4, V„->£!„2 ’V „= 8 „,(17)
где Вп- -Фт■М■г X’ ’д{t)- Ф тFe.
Вектор В„, представленныйв правой частиуравнения (17). можеттрактоватьсякакмодальныйвек
тор внешнихи реактивныхнагрузок. Следуетотметить, чтоесли размерностьисходной системы форму
лы (11) соответствует общему числу степеней свободы, представленных в расчете (поступательные и
вращательныеперемещениярасчетныхсеченийсистемы),то размерностьформулы(17)соответствует
числу форм собственных колебаний, учитываемых в расчете.
В рамках метода динамического анализа уравнение движения системы (17) решается прямым
пошаговым интегрированием этих уравнений с применением центрально-разностной схемы. Началь
ные условия (перемещения, скорости иускорения точексистемы в нулевой моментвремени) предпола
гаются нулевыми. Может быть применена следующая конечно-разностная аппроксимациядля текущих
значений скоростей иускорений:
v,f ы -2-Vj -Y, (18)
у » "
------------
3 ------------
11