ГОСТ Р 34.10—2012
Инвариантом эллиптической кривой называется величина J(E), удовлетворяющая уравнению
J(E) =1728-----—
-----
(mod р).(2)
4а3 *27Ь2
Пары (х. у), где х, у — элементы поля Fp, удовлетворяющие уравнению (1). называются «точками
эллиптической кривой Е»; х и у — соответственно х- и у-координатами точки.
Точка эллиптической кривой обозначается 0(х. у) или просто О. Две точки эллиптической кривой
равны, если равны их соответствующие х- и у-координаты.
На множестве точек эллиптической кривой Е определена операция сложения, обозначаемая зна
ком «♦». Для двух произвольных точек Q,(xr у,) и 0 2(х2. у2) эллиптической кривой Е рассматривают не
сколько случаев.
Для точек О, и Qr координаты которых удовлетворяют условию х, * х2. их суммой называется точ-
ка Q3(x3, у3), координаты которой определяются сравнениями
х3 =Х2 - х , - x 2(modp).
Уз =?.(х, - x 3) - y 1(modp).
где /. = —— — (mod р).
х2 -х ,
Если выполнены равенства х, =х
2
и у, =у
2
* 0. то координаты точки Q3определяются следующим
образом:
|х
3 =^2
-
2
x,(modp),(4)
[Уз =Мх, - x
3
)-y,(modp),
где /. = 3<
1
а (mod р).
2У1
Если выполнены условия х, = х
2
иу, =-y2(mod р), то сумма точек Q, и 0
2
называется нулевой точ
кой О без определения ее х- и у-координат. В этом случае точка 0
2
называется отрицанием точки Q,.
Для нулевой точки О выполнены равенства
О + О = О ♦ О = Q.(5)
где О — произвольная точка эллиптической кривой Е.
Относительно введенной операции сложения множество точек эллиптической кривой Е вместе с
нулевой точкой образуют конечную абелеву (коммутативную) группу порядка т, для которого выполне но
неравенство
р +
1
-
2
й т й р *
1
+
2
^ р .(
6
)
Точка О называется «точкой кратности /с» или просто «кратной точкой эллиптической кривой Е»,
если для некоторой точки Р выполнено равенство
Q -P +... + Р = кР.(7)
к
5.2 Параметры цифровой подписи
Параметрами схемы цифровой подписи являются:
- простое число р — модуль эллиптической кривой:
- эллиптическая кривая Е. задаваемая коэффициентами a. be Fp,
• целое число т — порядок группы точек эллиптической кривой Е;
- простое число q — порядок циклической подгруппы группы точек эллиптической кривой Е. для
которого выполнены следующие условия:
5