ГОСТ Р 34.10-2001
5.1 Математические определения
Пусть задано простое число р > 3. Тогда эллиптической кривой Е, определенной над конечным простым полем Fp, называется множество пар чисел (х, у), х, у е Fp, удовлетворяющих тождеству
у2 = х3 + ах + b (mod р), (1)
где а, b е Fp и 4а3 + 27b2 не сравнимо с нулем по модулю р.
Инвариантом эллиптической кривой называется величина J(E), удовлетворяющая тождеству
J(E) = 1728 АаЪА+\1Ь2 (mod р) . (2)
Коэффициенты а, b эллиптической кривой Е, по известному инварианту J(E), определяются следующим образом
а = 3 % (mod р) ,
Ъ = 2k (mod р) , где % = Bryg^J{E) (mod Р) , #($) * 0 или 1728 .
Пары (х, у), удовлетворяющие тождеству (1), называются точками эллиптической кривой Е; х и у — соответственно х- и у-координатами точки.
Точки эллиптической кривой будем обозначать 0(х, у) или просто Q. Две точки эллиптической кривой равны, если равны их соответствующие х- и у-координаты.
На множестве всех точек эллиптической кривой Е введем операцию сложения, которую будем обозначать знаком <<+>>. Для двух произвольных точек Q;^;, у;) и Q2(х2, у2) эллиптической кривой Е рассмотрим несколько вариантов.
Пусть координаты точек Q; и Q2 удовлетворяют условию х; * х2. В этом случае их суммой будем называть точку Q3^3, у3), координаты которой определяются сравнениями
х3 = X2 - х3 - х2 (mod р) , у3 = X (х; - х3) - у; (mod р) ,
где X = ——— (mod р) .
Х2 - Xj
Если выполнены равенства х; = х2 и у; = у2 * 0, то определим координаты точки Q3 следующим образом
х3 ^ X2 - 2х1 (mod р) , у3 ^ X (х; - хз) - у; (mod р) ,
В случае, когда выполнено условие х; = х2 и у; = —у2 (mod р) сумму точек Q; и Q2 будем называть нулевой точкой О, не определяя ее х- и у-координаты. В этом случае точка Q2 называется отрицанием точки Q;. Для нулевой точки О выполнены равенства
Q + О = О + Q = Q, (6)
где Q — произвольная точка эллиптической кривой Е.
Относительно введенной операции сложения множество всех точек эллиптической кривой Е, вместе с нулевой точкой, образуют конечную абелеву (коммутативную) группу порядка т, для которого выполнено неравенство
р + 1 - 2 л/р < т < р + 1 + 2Лр .
Точка Q называется точкой кратности %, или просто кратной точкой эллиптической кривой Е, если для некоторой точки Р выполнено равенство
Q = Р + ... + + = %Р . (8)
к
5.2 Параметры цифровой подписи
Параметрами схемы цифровой подписи являются:
4