ГОСТ ИСО 10112—2002
Приложение А
(справочное)
Соотношения для комплексного модуля упругости
Основное уравнениедлядеформируемого линейного, изотермического, изотропного, однородного, терморе-
ологически простого (см. формулу (А.7)] вязкоупругого материала в операторной форме имеет вид [5J:
где т(0 —
Y(0 —
Р(ря)т(0 = О(рд) т(А.1)
сдвиговое напряжение;
сдвиговая деформация;
Р{Ря) и 0(Ря) — полиномы от рц.
Оператор pRопределяют как
pR=dfdtR.(А.2)
Дифференциал приведенного времени dtR определяют как
dtR = dt/aT[T),(А.З)
где /— время, с;
«г (Г )— безразмерная функция температурного смещения [2]. зависящая от температуры Т. К.
Осуществив преобразование Фурьедля обеихчастей формулы (А.1). можноопределитькомплексный модуль
сдвига G для изменяющихся по синусоидальному закону напряжения и деформации в виде
G (/юя) =г* (у mR)/y (J= О (j caR)/P {j(oR).(A.4)
где знак * означает преобразование Фурье некоторой функции времени, например т* (/’ a>R)— преобразование
Фурье для г (/).
Приведенная угловая частота
шя =toar (Г) =2it fR =2п faT(T)(А.5)
представляет собой произведение угловой частоты to. рад/с. и безразмерной функции температурного смещения
«7(Т); fR и /являются приведенной циклической частотой и циклической частотой. Гц. соответственно.
Комплексный модуль сдвига зависит как от частоты, так и от температуры;
G =G (to, Т ).(А.6)
В том и только в том случав, когда эта зависимость имеет вид
G =G (усоя) =G [/toar (Г )J.(А.7)
материал называют термореологически простым. Формулы (А.1) — (А.7) справедливы только при выполнении
предположения о линейности модели.
Рассмотрим теперь участок вязкоупругого материала под воздействием сдвиговой деформации, изменяю
щейся по синусоидальному закону [6]:
у=уА sin cat,(А.8)
которая отстает по фазе от сдвигового напряжения на угол gG :
т =тд sin (cat+SG ) .(А.9)
В комплексном виде эти величины могут быть представлены как
Г =7дв/°»,1(А.10)
Тогда комплексный модуль сдвига может быть представлен также в виде
т*=тд e/<“ ,+*ei.
(A.11)
G = т*/у*=Тд в ,so/yA =Gu е)*а = Gu cos SG (1 +j tan 8G )= GR +jG, =
=G’+/G"=Gr (1*jr\Q).
(A.12)
где Gu — абсолютное значение кокчппексного модуля сдвига;
G
r
=G ’ — действительная часть комплексного модуля сдвига;
G, =G " =G
r iig
— мнимая часть комплексного модуля сдвига;
t
)
g
= tan 6а — коэффициент потерь в материале при сдвиге.
Сказанное справедливо для одно-, двух- и трехосных деформаций и напряжений [2] и может быть распро
странено и надругие параметры, такие как модуль Юнга Е. модуль обьемной упругости К, постоянную Ламе к и др.
7